从第一积分求Lagrange函数和等效的Lagrange函数.pdfVIP

第35卷4期 安徽师范大学学报(自然科学版) V01．35No．4 2012年7月 ofAnhuiNormal u1．2012 Joumal University(NaturalScience) J 丁光涛 (安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖241000) 的关系，得到了一类同位等效Lagrange函数族存在的判据和直接构造法．应用所得结果构造了若 干系统的Lagrange函数和函数族． 关键词：变分法逆问题；等效的Lagrange函数；第一积分；Lagrange函数族 中图分类号：0320文献标识码：A 文章编号：1001—2443(2012)04—0307—06 变分法逆问题或称为Lagrange力学逆问题，研究给定的常微分方程(组)能否从变分原理导出以写成等 19世纪，迄今仍是数学力学和物理学中热门课题之一¨-1 01．逆问题的研究与系统Lagrange函数的等价性研 究紧密相关[11-l 6|．一个系统的Lagrange函数不是唯一的，这些函数之间存在等效关系，除了规范等效性之 外，还有同位等效性[1，2|．逆问题解法可能得到同一系统的不同Lagrange函数，这些函数是彼此等效的． 卫卫本文从第一积分和Lagrange函数之间的新关系以及与此相关的逆问题的新解法出发，讨论了新解法与等 效Lagrange函数族的存在判据和构造方法；最后，应用所得的结果导出若干系统的Lagrange函数族． 1预备知识 考虑二阶常微分方程系统 Mfi(t，q，毒)q—Nf(t，q，奇)=0(i，j=1，2，…，7z) q 其中^％满足下列条件 det(M0)≠0 Q 则系统(1)可以写成如下运动学形式 qi=Qi(t，q，q) 0 系统的一个第一积分为 J=Jr(t，q，q) @ 在系统真实运动中保持不变，即 等：筹+券i+兰Qi兰0 @ 万2万+瓦吼+石皑一 如果另一个微分方程系统 呱i(￡，q，奇)ji+Ni(t，q，杏)=0 det(Mi)≠0 ∞0 其运动学形式的微分方程与(3)相同，则称系统(1)和(6)是等价的． 若系统(1)能由变分原理导出，即设系统存在Lagrange函数 L=L(￡，q，q) @、，、，、，、，、，、，、，、， 代人La，o-mnge方程得 收稿日期：2012—05—15 作者简介：丁光涛(1941一)，男，安徽枞阳人，教授，主要研究方向为理论力学 万方数据 308 安徽师范大学学报(自然科学版) 2012正 Ei(小川d(a∥L)差 ：粤ji+粤ji+塑一堕 …’(9) 3qi 2五丽矿：瓦劬+…3t3；li Lagrange函数的规范等效变换为 L—L=L(￡，q，j)+关F(￡，q)