线性代数课件_第一章_行列式——第4节.pptVIP

线　性　代　数 第一章　行列式 一、对换的定义 二、对换与排列的奇偶性的关系 三、小结 * * 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 按行列式定义有 记 对于D中任意一项 总有且仅有 中的某一项 与之对应并相等; 反之, 对于 中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等, 于是D与 中的项可以一一对应并相等, 从而 定理3 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 下标的逆序数为 所以 不是六阶行列式中的项. 例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. 解 431265的逆序数为 所以 前边应带正号. 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以 前边应带正号. 例3 用行列式的定义计算 解 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 2.行列式的三种表示方法