回归基础专题(三)立体几何答案.docVIP

参考答案 【高考题组】 题组一 1．A； 2．D； 3．B； 4．C； 5．B 题组二 1．D； 2．D 3．（1）依题作点在平面内的正投影，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ， 又面，，∴. （2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，， ∴，，即，， 又，∴平面. （3），，则，设异面直线所成角，则. 4．（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，， V(x)=（） （2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值； （3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=， ， 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为； 5．（1）在中，， 而PD垂直底面ABCD， , 在中，,即为以为直角的直角三角形。 设点到面的距离为,由有,即 ; (2),而,即,， ,是直角三角形； （3）时,, 即, 的面积 6．（Ⅰ）连接，， 因为是边长为的菱形，且， 是的中点，所以均为正三角形， 且， 所以 所以，从而， 取的中点，连接，因为，，所以, 又，所以平面，所以 在中，因为分别是的中点，所以，所以 又，所以平面. （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知为二面角的平面角, 易得,, 在中,,由余弦定理得 所以二面角的余弦值为. 另法： 解法二:先证明平面，即证明即可， 在中，；在中， 所以在中，， 在中，，故为直角三角形，从而. 建立空间直角坐标系如图所示,则, 所以,设平面的一个法向量为，则 ，从而，解得，令得 显然平面的一个法向量为， 从而，所以二面角的余弦值为. 7．(1) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. (2) 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则,, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量, 所以, 即二面角的平面角的余弦值为. 8．（Ⅰ）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是. 法1：以点为原点，、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、、、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3. 法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，，于是就是二面角的平面角.因为平面，平面，所以是直角三角形.由∽可得，而，所以，，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为. 平面， ，又，， 平面， ，又， 平面，即； （２）设，则中，，又， ，，由（１）知 ，， ，又， ，，同理， 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，， 设是平面的法向量，则，又， 所以，令，得，， 由（１）知平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，可知为锐角， ，即所求． 10． （2）设平面与平面RQD的交线为. 由BQ=FE,FR=FB知, . 而平面平面平面平面 ， ∴. 由（1）知，平面平面平面 平面， ∴是平面与平面所成二面角的平面角．中，， ，． ．与平面所成二面角的正弦值是． B； 4．C； 5．A； 6．D； 7．B； 8．B； 9．； 10．C 11． 解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，，BD⊥AD，AD⊥DC，＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，，∴EF⊥FG，四边形EFGH是矩形．(2)方法一：如图，以D为坐标原D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，·DA＝0，n·BC＝0，得取n1，1，0)，＝|〈，n〉|＝＝＝方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，20)，是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)．＝，FG＝(－1，1，0)，＝(－2，0，1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，则n·FE＝0，n·FG