一维抛物线偏微分方程数值解法().doc

一维抛物线偏微分方程数值解法（2） 上一篇文章请参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（1） 解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法） Ut-Uxx=0, 0x1,0t=1（Ut-aUxx=f(x,t),a0) U(x,0)=e^x, 0=x=1, U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t), 0t=1 精确解为：U(x,t)=e^(x+t); Matlab程序： （此为向后差分法） function [u p e x t]=pwxywxh(h1,h2,m,n) %欧拉向后差分法解一维抛物线型偏微分方程 %此程序用的是追赶法解线性方程组 %h1为空间步长，h2为时间步长 %m,n分别为空间，时间网格数 %p为精确解，u为数值解,e为误差 x=(0:m)*h1+0; t=(0:n)*h2+0; for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; end end for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i)); u(i,m+1)=exp(1+t(i)); end for(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i)); end r=h2/(h1*h1); for(i=2:n+1) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% a(1)=0;b(1)=1+2*r;c(1)=-r;d(1)=u(i-1,2)+h2*f(i,2)+r*u(i,1); for(k=2:m-2) a(k)=-r;b(k)=1+2*r;c(k)=-r;d(k)=u(i-1,k+1)+h2*f(i,k+1); %输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入% end a(m-1)=-r;b(m-1)=1+2*r;d(m-1)=u(i-1,m)+h2*f(i,m)+r*u(i,m+1); for(k=1:m-2) %开始解线性方程组 消元过程 a(k+1)=-a(k+1)/b(k); b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k); d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k); end u(i,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程% for(k=m-2:-1:1) u(i,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i,k+2))/b(k); end end for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i)); %p为精确解 e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差 end end [u p e x t]=pwxywxh(0.1,0.005,10,200); surf(x,t,e); xlabel(x);ylabel(t);zlabel(e); title(误差曲面); plot(t,e) 误差较之前的欧拉向前差分格式 增长了两倍 [u p e x t]=pwxywxh(0.1,0.05,10,20); plot(t,e) [u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.05,100,20); plot(t,e) [u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.01,100,100);plot(t,e) [u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(x,e) [u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(t,e) [u p e x t]=pwxywxh(0.005,0.005,200,200); plot(x,e) X=1时，出现了误差？？? 不是边界条件吗？不能理解 这方法还是比前一种方法误差大呀 不过可以随便改变时间、空间步长