建模第章.doc

第三章 微积分建模方法 第一节 微积分建模的思想和方法 微积分是人类智慧最伟大的成就之一.微积分基本上是牛顿和莱布尼兹发现的,分为微分学与积分学两大类,微分（导数）主要是研究函数的变化率问题，就是用变化的观点考察问题，从变化中认识与解决问题；积分与微分互为逆运算.微积分基本定理将二者结合在一起. 旅馆定价 某旅馆共有200套房间，当旅馆把每套房每日定价为80美元时，所有房间都有人住，若每日房价调高a美元,则有a套空房，且每套占用房每天的费用为22美元．为使收益最大，旅馆应把房价定为多少？ 解 设每套房每日定价为美元,则占用房数为：200-（-80）=280-， 收益为： 　　　　 R（）=(-22)(280-), 令，得=151（美元）． 而=-20,所以R（）存在极大值，且极值点唯一，所以当房价定为151美元时，获利最大． 信鸽的飞行距离 我们知道，信鸽白天力图避免在水面上飞行，这可能是因为水面上空的向下气流会造成飞行困难.假设在距离岸边B处3英里的C岛上放飞信鸽,鸽巢在海岸的A处，距离B处 8英里.设鸽子在水面上空飞行所需单位能耗率为它在陆地飞行的1.28倍.为使它回到鸽巢所需总能耗最低，飞行路线如何选择？ 解 设信鸽从C岛上沿直线飞往岸边的D处，然后再沿DA飞行（如下图），设鸽子在陆地飞行能耗率为b,则其在水面上空飞行所需能耗率为1.28b,设BD=,所需总能耗为： +, 令，得=3.75（英里） 天然气的消耗 在2000（）年后天然气用尽，则有： 解得：≈38.7(年) 即大约到2039年天然气的储存量将被用尽. 从以上几例可以看出,利用此法建模的基本思想是:首先建立变量间的函数关系或积分关系,然后通过求导或积分进行求解. 森林救火模型 森林失火了，消防站接到报警后,派消防队前去救火,派的人越多,森林的损失越小,但救援开支会越大,综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系,使总费用最小来决定派出队员的人数. 1.问题分析 （1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关. （2）救援开支由两部分构成：①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）. （3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延。半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比. 2. 模型假设 (1) 火灾损失与森林被烧面积成正比 记开始失火的时刻为=0，开始灭火的时刻为?，火被完全扑灭的时刻为?， t森林被烧面积为，表示森林单位面积损失费，则总损失为。 (2)被烧面积与时间的关系 表示单位时间被烧面积(燃烧速度，/min),当=0与?时最小，为零，当?时最大，记，由前面分析，与成正比,故不妨设在区间[0,?]与[,]上，都是的线性函数. 在 [0,?] 上，斜率为???，?称为火势蔓延速度(燃烧速度的变化速度),在[,] 上,斜率为???x??,其中x为消防队员人数,??为每个队员的平均灭火速度( /人) . （3）救援开支 设为消防队员人数，灭火剂消耗与单位时间消防队员酬金为, 运输费平均每人费用为, 则救援费为： 。 3．模型建立与求解 由假设2知，森林被被烧的最大面积 ＝ 总费用 , 此式中与 是变量，其余为常数。 而???从而总费用可化为一元函数 C=, 令,可得到应派出的队员人数为:  图1 单位时间被烧面积与t 的关系 4.结果解释: 从结果看，，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员的总灭火速度要大于火势蔓延速度，这保证使燃烧速度趋于零. 而的第一项是综合考虑了各种因素,使总费用最低.当队员灭火速度?和救援费用系数增大时,队员数减少; ?当火势蔓延速度和开始救火时的火势b增加时, 队员数增加,这些与常识是一致的.?? 此模型中最难估计的参数是b,可根据现场失火情况及燃烧时间来估计. ?? 库存模型 已知某产品日需求量100件，每次订货费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的订货计划，即多少天订货一次（生产周期），每次订货多少，使总费用最小. 解的特例: (1) 每天订货一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元,每天费用5000元. (2) 10天订货一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，订货费5000元，总计9500元。平均每天费用950元. (3) 50天订货一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，订货费5000元，总计127500元。平均每天费用2550元. 10天订货一次每天的平均费用最小吗? 解: 设天订货一次，则每次的订