测量相关基础数学知识.docVIP

　　1.三角形边长计算 　　图 M-1 　　在三角网(锁)测量中,丈量了一条起算边,观测了各三角形内角,即能根据正弦定律计算各三角形的边长。如图M-1,AC=b为起算边,∠A、∠B、∠C为观测角,根据正弦定律得: 　　(M-1) 　　换成对数形式: 　　(M-2) 　　2.坐标方位角推算　　坐标方位角是由两点连线与x轴相交而成的角度。这个角度总是以ox为0°顺时针量至所求方向。如图M-2所示,由A至B的坐标方位角为αAB,而B至A的坐标方位角则为αBA,两者相差为180°。因此,两点相对方向之差,总是存在着这样关系,即: αAB=αBA±180° (M-3) 　　如两线的坐标方位角为已知,则它们相交的夹角可按测角的计算方法求得,即右方向减去左方向,在图M-2中: 　　(M-4) 　　或 　　(M-4′) 　　图 M-2 　　如已知起算边的坐标方位角并测了夹角,则可推算其他边的坐标方位角。在图M-2中: 　　(M-5) 　　上式中夹角∠ABC在推算线路A-B-C前进方向之左,称为左角。∠CBA在推算线路之右,称为右角。因此可以总结为: 　　图 M-3 　　已知边的坐标方位角+180°+左角=推算边的坐标方位角　　已知边的坐标方位角+180°-右角=推算边的坐标方位角 3.坐标计算 　　在平面上已知直线AB的长度为s,起算点A的坐标为xa、ya及AB的坐标方位角α,求B点坐标。　　如图M-3所示,过A点作平行纵轴x和过B点作平行横轴y的直线交于C点。由直角三角形的解算公式可得: 　　(M-6) 　　所以: 　　(M-7) 　　Δx、Δy就是坐标增量,其符号根据cosα和sinα的正负号决定,如表M-1。 　　表M-1 坐标方位角α cosα或△x的符号 sinα或△y的符号 大于90°角度的查表方法 0°～90° + + 直接查sinα,cosα 90°～180° - + cosα查sin(α-90°);sinα查cos(α-90°) 180°～270° - - cosα查cos(α-180°);sinα查sin(α-180°) 270°～360° + - cosα查sin(α-270°);sinα查cos(α-270°) 　　4.坐标反算边长及坐标方位角　　如果两点的坐标值为已知,即可计算两点间的坐标方位角和边长。如图M-4,已知A、B两点的坐标分别为xA、yA和xB、yB,在直角三角形ABC中有如下关系: 　　CB=yB-yA=△y　　AC=xB-xA=△x 　　 　　(M-8) 　　(M-9) 　　公式(M-8)中tgα有正负号,应依表M-2求出方位角TAB。 　　图 M-4 　　表M-2 分 子 符 号 分 母 符 号 从α求方位角T yB-yA + xB-xA + 坐标方位角TAB=α yB-yA + xB-xA - 坐标方位角TAB=180°-α yB-yA - xB-xA - 坐标方位角TAB=180°+α yB-yA - xB-xA + 坐标方位角TAB=360°-α 　　5.测点定位　　(1)坐标方位角交会　　如图M-5,由已知点A、B交会待定点P,不论AB间是否通视,但测得AP和BP坐标的方位角α1、α2,此时可利用如下正切公式计算P点的坐标。 　　(M-10) 　　图 M-5 　　(2)三角形交会　　AB间通视并互相后视,测得α、β角如图M-6则可利用如下余切公式计算P点坐标。 　　(M-11) 　　α、β角必须如图M-6排列。　　(3)极坐标法　　又称距离—方位法,如图M-7,A、B为两已知点,在A点测得角PAB=α(或坐标方位角αAP),在P点或A点测得距离PA=s1,求P点坐标:　　(a)当观测角度α时: 　　(M-12) TAP=TAB-α (M-13) 　　图 M-6 　　(b)当测得为TAP时: 　　xP=xA+s1cosTAP (M-14) yP=yA+s1sinTAB (M-15) 　　(c)在A点测得α角,在B点测得BP距离s2 　　图 M-7 令 AB=d 　　(M-16) 　　β=180°-(α+r) (M-17) xP=xB+s2cos(TAB+180°-β) (M-18) yP=yB+s2sin(TAB+180°-β) (M-19) 　　或 　　(M-20) 　　xP=xA+s1cos(TAB-α) (M-21) yP=yA+s1sin(TAB-α) (M-22) 　　(4)三边法　　如图M-7所示: M=AC=s1cosα (M-23) 　　N=PC=s1sinα (M-24) M=(d2+s12-s22