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第3章 信号分析与处理 3.1 信号的基本概念 3.2 连续信号的频域分析 3.3 离散信号的频域分析 3.4 随机信号的分析 3.1 信号的基本概念 3.2 连续信号的频域分析 时域分析：以时间为横坐标，研究信号幅度随时间的变化情况。 频域分析：把时间为横坐标的时域信号通过傅里叶变换分解为以频率为横坐标的频域信号，从而求得原时域信号频率成分的幅值和相位信息的一种分析方法。 通过对信号的各频率成分的分析，对照机器部件运行时的特征频率，可以查找故障源，确定哪些零部件出现了故障，以便有针对性地采取措施。频域分析已成为机械设备故障诊断的主要内容。 一、 周期性号的频谱分析 3.3 离散信号的频域分析 3.4 随机信号的分析 上式表明： 连续信号f(t)可以展开为Sa函数的无穷级数，该级数各分量的系数等于采样值f(nTs)。 也就是说，若在采样信号fs(t)的每个样点处，画一个峰值为f(nTs)的Sa函数波形，那么其合成波形就是原信号f(t)。 因此，只要知道各采样值f(nTs)，就能唯一地恢复f(t)。 3．频谱混叠 由于实际信号不一定是频带受限信号，不满足采样定理的条件，因此可能产生频谱混叠。 一般在采样前先用抗混滤波器，把模拟信号中次要的高频成分滤去，使其成为频限信号。 4．频谱泄漏 实际采样时，得到的是有限时间信号，即在时域上乘了一个矩形窗函数，而矩形函数的频谱是一个带旁瓣的无限带宽的频谱，所以将原来的带限频谱扩展为无限带宽，同时谱峰下降，称为频谱泄露。 直流信号的频谱是冲击函数，经时域截断后，成了Sa函数。 为减少泄露误差的方法： 加大窗宽 改变窗函数．如用三角形窗，汉宁窗（升余弦窗）,哈明窗（改进的升余弦窗）等。 三角窗 汉宁窗 二、 离散傅立叶变换 1．离散傅立叶变换DFT 为利用计算机计算傅立叶变换，需要对无限长连续信号，进行时域采样、时域截断、频域采样，周期延拓，从而得到离散傅立叶变换DFT： 离散傅立叶正变换： 离散傅立叶反变换： 式中，N为采样计算点数。 时域采样脉冲序列 频域采样脉冲序列 时域截断 周期延拓 2．离散傅立叶变换与傅立叶变换的关系 忽略由频谱混叠和泄漏引起的误差，离散傅立叶变换与傅立叶变换具有下列关系： 式中，To为时域截断时的窗宽，T0=NTs；f0是频域采样的间隔，f0= l/T0=1/(NTs) = fs/N 3. 栅栏效应 FFT算法计算的离散频率点为: Xs(fk) ， fk = k *fs / N , k = 0，1，2，....N-1 X(f) f 0 f0 Δ 如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能取相邻的频率取样点谱线值代替，从而产生误差。 从这个意义上说，频谱泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。 4．快速傅立叶变换FFT DFT方法计算量太大，限制了应用。1965年美国学者提出了一种快速计算DFT的算法，称为快速傅立叶变换FFT。 例如：当N=1024时，DFT的复数乘法次数约为105万次，而FFT的复数乘法次数5120次，仅为DFT的1/200。 对一个连续信号作FFT，一般按以下步骤选取参数： 1) 估计的截止频率fm或按所需的最高频率对x(t)作低通滤波。 2) 由采样定理确定采样间隔Ts或采样频率fs。 3) 通过估计，确定最小采样长度Nmin。 4) 对基2型FFT，按2的整数次幂及NNmin圆整采样点数N。 5) 选取适当的窗函数。 例：信号x(t)=sin(2πf1)+2sin(2πf2)+N。 式中，f1=50，f2=120，N为正态分布的噪声信号。 信号的时域波形和幅度频谱如下。从时域波形只能看出信号的振幅范围，很难看出信号的频率特征；而从频谱图可以很容易看出信号中主要由频率分别为50与120的简谐信号构成，且后者的幅度是前者的两倍。 t=0:0.001:0.6; %601点，Ts＝0.001 x=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(size(t)); subplot(2,1,1) plot(x(1:600)) %绘制信号的时域波形 Fx=fft(x,512); %快速傅立叶变换，N=512 f=(0:255)/(0.001*512); %频率轴，f0=1/(NTs) %只绘制256点 subplot(2,1,2) plot(f,abs(Fx(1:256))) %绘制信号的幅度频谱 如果绘制512点： f=(0:511)/(0.001*512); %频率轴，绘制512