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第一节 基础知识 数学期望 方差 标准差 协方差 相关系数 协方差 协方差衡量两个随机变量如何共同变化，即它们之间的互动性。 协方差可为正值、负值或零。 正的协方差表明，当一个随机变量出现大于平均值的值时，另一个随机变量的值也会大于均值。 负的协方差正相反，一个出现大于均值的值，与之相反，另一个则会出现小于均值的值。 协方差为零，表明把两者的结果简单配对并不能揭示出什么固定模式。 协方差习题 单一资产的风险与收益的衡量 收益率的计算 波音公司股票1983年12月31日和1984年12月31日的价格分别是29.13美元和37.75美元，1984年该股票每股股息是0.93美元。 预期收益 风 险 金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）是最好的工具。 预期风险 历史风险 风险衡量 资产组合收益和风险的计算 两种证券的组合 50%伞、50%冷饮组合风险 N种资产的预期收益 3 2 1 投资品种 0.1168 0.1565 0.11939 0.01365 0.0245 0.0376 27 4 12 2002 2 -3 -9 2001 -17 13 12 2000 24 15 14 1999 -7 -9 -11 1998 32 14 8 1997 -5 -2 22 1996 4 -3 -4 1995 18 4 8 1994 -6 11 10 1993 3 2 1 股票收益率（%） 年份 7.20% 4.40% 6.20% 历史平均收益率 不是 无偏估计 3 2 1 投资品种 16.84% 8.51% 10.7% 0.028373 0.007249 0.01144 -20% 12% 30% 伞公司收益率r2 3% 3% 3% 国库券r3 20% -4% 10% 冷饮公司收益率r1 0.3 0.3 0.4 概率 熊市 牛市 少雨年份 多雨年份 年份 老王的组合 50%冷饮 50%伞 50%伞 50%国库券 E(r1）=8.8% б (r1）=9.35% E(r2）=9.6% б (r2）=20.78% E(r国库券）=3% б (r国库券）=0 50%伞、50%冷饮组合收益 E(rp)=50% ×8.8%+ 50% ×9.6%=9.2% 50%伞、50%冷饮组合风险 第一章 风险和收益的衡量 定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 如果 有限, 定义X的数学期望 数学期望 多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2 乙的技术较好。 例1 X甲 X乙 E（X甲） E（X乙） 一批产品有一、二、三等品，等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均产值。 例2 X X E（X） 数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果 有限,定义X的数学期望为 也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分. 连续型随机变量的数学期望 仅用数学期望反映事物特征行吗？ 某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 方差 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用. 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}∞，则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1) 为X的方差. 注：也可以记作D(X) 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 . 方