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2015-09-13 发布于重庆
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相空間分析Phase Space Analysis 蕭智仁 Chapter: Appendix A. 考慮以下的常微分方程式 (ODE)： .......................................... (1) 這個方程式符合所謂「動態系統 (dynamical system)」的定義。若要探究其軌道在附近的演化狀態，可將方程式做展開，取到一階項： ..... (2) 其中可視為該軌道在位置時的速度，而實係數Jacobian矩陣則反映出系統在附近的穩定性。考慮的情形，即，此時代表系統在上存在不動點。取新座標，可將 (2) 轉化成 ............................................................. (3) 考量一維情形 (N=1)，A化為一（實）數。(3) 的解是。如果 A0 則會有穩定不動點；而 A0 則有不穩定不動點。A=0 時還必須參考高次項才能決定。 Ref: /article/Image:Equilibrium_figure_1d.gif 考量二維情形 (N=2)，A為2×2矩陣。如果A可對角化，(3) 的解可以直接寫成，其中?1、?2、、分別是A的本徵值以及其對應的本徵向量。?的一般形式為 ........................................ (4) 由本徵值的特性就可以將系統分類。整理列表如下：本徵值分類不動點分類 0 0 Stable node --- 0 Saddle 0 0 Unstable node 0 0 Stable star or improper node 0 0 unstable star or improper node 0 0 Stable spiral = 0 0 Center 0 0 Unstable spiral Unstable improper node Stable star