关于12+22+32+…+n2的多种推导证明方法.docVIP

关于前n个自然数的平方和公式的证明方法 湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲 在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n个自然数的平方和公式：，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。 在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。 方法一：数学归纳法 当时，左边=，右边= 左边=右边 ∴时，原式成立. 当时，左边=，右边= 左边=右边 ∴时，原式成立. 假设时，成立， 则时， 左边=右边 ∴时，原式成立. ∴对任意，都成立。 数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的,一步步把右边的“从无到有”地推算出来的. 方法二：观察规律法 记 n 1 2 3 4 5 … n 1 3 6 10 15 … 1 5 14 30 55 … ? 发现规律 n 1 2 3 4 5 … n … 方法三：代数推导法 由公式，得 将以上n+1个等式累加，得： 方法四：巧用“1”法 方法五：构造法（利用组合公式） 把上述n个等式累加得： 方法六：平面几何法 图中有n个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。 矩形的宽即n，矩形的长：矩形面积： 左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n-1条。 每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i= 则第i条面积也为。 所有n-1条的总面积： 为便于书写，记12+22+32+…+n2=t2 显然，大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积，则 即： 方法七：三角阵法 此三角阵中各项和为： 再逆时针旋转60°： 此三角阵中各项和为： 再逆时针旋转60°： 此三角阵中各项和为： 将这3个三角阵相加：? ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． 这个三角阵有项，则这三个三角阵的和为：.又因为前三个三角阵中各项的和相等，则每个三角阵中各项和为： 即 【参考文献】 [1]杜春辉.导出公式的三种方法[J].数学学习与研究:教研版,2009,11:80