第三章点,直线和平面.ppt

a? b? c? a? c? b? a b c ③ 一般位置平面 三个投影均为类似形。 投影特形： 是什么位置的平面？ 三、平面上的直线和点 判断直线在平面内的方法 定 理 一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 定 理 二 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 ⒈ 平面上取任意直线 a b c c? a? a b c b? c? a? m n n? m? 例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。 解法一 解法二 根据定理二 根据定理一 有无数解。 d? d 有多少解？ b ? 例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。 n? m? n m 10 c? a? b? c a b 唯一解！ 有多少解？ ⒉ 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 b ① a c c? a? k? b? ● k ● 面上取点的方法： 首先面上取线 ② ● a b c a? b? k? c? d? k ● d 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 c k a d a? d? b? c? a d a? d? b? c? k? c 例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。 解法一 解法二 b b 直线和平面之间与两平面之间的相对位置，可分为平行、相交或垂直三种情况。 第4节 直线与平面、平面与平面的相对位置 一、直线与平面平行及两平面平行 1．直线与平面平行 直线与平面平行的几何条件是： 若直线平行于平面内的任一直线，那么该直线必然与平面平行。利用该几何条件，就可以解决制图中有关直线与平面平行的问题。 例3—7 已知一直线DE和平面△ABC，试判断DE是否平行于平面△ABC，如图3—18所示。 图3—18 判断直线和平面是否平行 分析：根据直线与平面平行的几何条件，如果能在平面△ABC内作一直线平行于DE，那么就可判断直线DE平行于△ABC；否则，他们就不平行。 两平面平行的几何条件是：如果一个平面内相交两直线平行于另一平面内的相交两条直线，那么这两个平面必然平行。利用上述几何条件，可以判断两平面是否平行和解决过定点作平面平行于已知平面等问题。 图3—19 两平面是否平行的判断 分析 如果一个平面内的相交两直线与另一平面内的相交两直线平行，那么就能判断出这两个平面平行，否则就不平行。判断出两平面△ABC和△DEF是平行的。 2．两平面平行 例3—8 试判断图3—19所示的两已知平面△ABC和△DEF是否平行。 从图3—20中可以看出，铅垂面的水平投影积聚成一条直线，交点K是直线AB与平面P的共有点，交点K既属于平面P，又属于直线AB，故AB的水平投影ab与p的交点k即为交点K的水平投影。为倾斜直线AB与铅垂面P相交的情况， (a)分析 (b)投影图 (c)可见性判断 图3—20 直线与垂直投影面相交 二、直线与平面相交及两平面相交 如果直线与平面相交，则只有一个交点，该点是直线和平面的共有点。它既属于直线，又属于平面 1．倾斜线与特殊位置平面相交 直线DE与△ABC相交，求交点K的投影情况如图3—21所示 作图过程 (b)可见性判断 图3—21 投影面垂直线与平面相交 2．垂直线与倾斜面相交 两平面相交求交线，可归结为求两个共有点的问题。如图3—22(a)所示的倾斜平面△ABC和铅垂面△DEF相交，只要求出属于交线上的两点即可。 对两特殊位置平面相交和特殊位置平面与直线垂直的情况就不作介绍，读者可根据相关投影的理论知识进行分析并判断。 (a)空间分析 (b)投影图 图3—22 投影面倾斜面与特殊位置平面相交 3．倾斜平面与特殊位置平面相交 小 结 一、点的投影规律 ① a?a⊥OX 轴 ② aax= a?az=A到V 面的距离 a?ax= a?ayw=A到H 面的距离 aayH= a?az=A到W 面的距离 ● ● ● ● X Y Z O V H W A a a? a?? x a a z a y ● ● Y Z az a? X Y ayw O a ax ayH