第三章3正态分布(方茹).ppt

二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 求 Y= 2X + 3 的概率分布. 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 故 0.2 0.5 0.3 P 1 2 5 X 0.2 0.5 0.3 P 5 7 13 X 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般，若X是离散型 r.v ，X的概率分布列为 则 Y=g(X) ～ p1 p2 … pn … P x1 x2 … xn … X p1 p2 … pn … P g(x1) g(x2)… g(xn) … g(X) 如： 则 Y=X2 的概率函数为： 0.3 0.6 0.1 P -1 0 1 X 0.6 0.4 P 0 1 X 三、连续型随机变量函数的分布 已知随机变量X的分布函数FX(x),概率密度 fX(x),求随机变量Y=g(X)的分布函数FY(y), 概率 密度fY(y)时，有两种方法： 分布函数法: (1) FY(y)=P(Y≤y)=P{g(X)≤y} 将它用FX(x)表示， (2) 解：设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16时， 此时 Y=2X+8 例3 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 求导可得 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 解： 若 则 Y=X2 的概率密度为： 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 . 例如，用 代替 {2X+8 ≤ y } { X } 用 代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 稍事休息 例4 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度. 当 y 0时, 当 y 1时, 当 时 故 解:注意到, =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 解：当0y1时, 例4 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度. 当0y1时, 解： =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 而 * 也许很多人不相信，玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了。 平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。 正态分布的定义是什么呢？ 对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。 一、正态分布的定义 若r.v X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 下面验证满足概率密度性质: (1) f(x)≥0, (2) 证明： 而 令 t=ρcosθ, u=ρsinθ 从而 二、正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线. 特点是