第一章 信号及其描述2.ppt

用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现象,如闪电在很短的时间内有很大的能量释放;又如锤击在很短的时间内有一很强的冲击力等.定义中积分等于1,说明其强度为1,若强度为K的脉冲用Kδ(t)表示. δ(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示,线段位于原点,表示当时间t=0有一冲击.若线段位于t=t0点,则可定义δ函数为: ,积分值仍为1. (2)δ函数的采样性质:若任意函数f(t)在t=t0点连续,有 这是因为δ(t)只有在t0点有值,所以有 上式表示δ函数的采样性质.此性质表明任何函数f(t)和δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的δ函数δ(t-t0),而乘积在无限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0).这个性质对连续信号的离散采样是十分重要的. (3)δ函数与其他函数的卷积 卷积结果:就是在发生δ函数的坐标位置上(以此作为坐标原点)简单地将x(t)重新构图. (4)δ函数的频谱 这说明δ函数的频谱密度是常数1,即δ函数是等强度的各种频率成分所组成的,这种频谱常称为“均匀谱”. δ函数重要傅里叶变换对 典型非周期信号(如指数信号,矩形信号等)都是满足绝对可积条件的能量信号,则可用傅里叶变换公式进行傅里叶变换,但绝对可积条件仅是充分条件,而不是必要条件. 周期信号的傅里叶变换需要引入δ函数. 周期信号的傅里叶变换 例子:将方波信号展开成复指数级数 双边幅频谱 方波信号 比较两个频谱可发现不同之处在于:复指数形式是将三角形式的每条谱线取1/2到左边轴的对称点处,复指数形式频谱中的负频率完全是数学变换的结果,没有实际的物理意义.引入傅里叶级数的复指数展开的好处有二:(1)复指数的系数也能描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn;(2)为研究信号的频谱提供了计算方便; 双边幅频谱 单边幅频谱 (1)周期信号的频谱是离散的. (2)每条谱线只出现在基波频率的整数倍上,基波 频率是诸分量频率的公约数. (3)各频率分量的谱线表示该谐波的幅值和相位;常见周期信号谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小的. 周期函数的频谱特征 三、周期信号的强度表述(时域波形分析) 绝对均值* 均方值 (平均功率) 均方根值* (有效值) root mean square (rms) 均值 峰峰值 峰值* * 可用电压表测量 第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 常见瞬变非周期信号 (1)周期为T0的信号x(t)的频谱是离散的. (2)当x(t)的周期T0→∞时,则该信号变为非周期信号. (3)周期信号的频谱谱线的频率间隔Δω=ω0=2π/T0,当周期T0→∞时,Δω趋于无穷小,谱线无限靠近,变量ω连续取值以致离散谱线的顶点最后演变成一条连续曲线.所以非周期信号的频谱是连续的.可以将非周期信号理解为由无限多个、频率无限接近的频率成分所组成的. (4)这时就不能用傅里叶级数展开了,但是信号中各频率成分的比例关系还是存在的,因此我们还希望研究信号的频率成分,这就需要借助于另外一种数学方法――傅立叶变换. 一、傅里叶变换 下面从周期函数的傅里叶级数取T→∞时的极限入手,推导傅里叶变换.对于周期信号: ∵ 频线间隔: 由定积分定义: ∴当T0→∞时, , , 0 ò ? ? ? ? D w w w w n d 式中: 将周期函数的复指数形式的傅里叶级数展开与非周期函数的傅里叶变换相比较,看出两点不同: (1)周期函数中所包含的频率成分,是基频ω0的整倍数.而非周期函数中包含了一系列从0到无穷大的所有频率成分,ω是连续变量. (2)周期函数的傅里叶系数Cn反映的是对应频率成分幅值的大小,而非周期函数的傅里叶变换X(ω)反映的是单位频率宽度上的振幅.所以又称X(ω)为频谱密度函数. 或 要求:本门课统一采用上式. 式中 |X ( f )| 为信号 x(t) 的连续幅值谱,φ(f)为信号 x(t) 的连续相位谱. 非周期信号幅值谱| X(f) |与周期信号的幅值谱| cn|是有区别的-----量纲不同 后者的量纲与幅值的量纲一样;而前者的量纲则与幅值量纲不同,它是单位频宽上的幅值,确切地说是频谱密度函数.本书为方便起见,在不会引起紊乱的情况下,仍称X(f) 为频谱. 特别提醒 例1-3 求矩形窗函数ω(t) 的频谱 其幅值谱为 (1)当 (2)当 辛克函数 该函数在信号分析中很有用: (1)它以2π为周期并随的增加而作衰减振荡; (2)Sinc函数是偶函数,在nπ处其值为零. 例子: 求下图所示信号的傅氏变换 解: 3 二、傅里叶变换的主要性质 一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确定彼此一一对应的关系.熟悉傅里叶变换的主要性质,有助于了解信号在某个域中的变化和运算将在另一域中产生何种相应的变化和运算关系,最