第2章 离散傅里叶变换及其快速算法2.pptVIP

从图中可以看出，这是一次次的近似过程，首先，用离散采样信号的 DTFT 来近似连续信号 的傅立叶变换 ，其次，将x(n) 截短，这一过程等效于用一矩形序列RN(n)与x(n)相乘，其DTFT为 最后，再对截短的信号作DFT （2）解决办法 在采样前利用一模拟低通滤波器将原始信号的上限频率 限制在采样频率的一半，即加一抗混叠滤波器。 4、 DFT的分辨率 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。 参数选择的一般原则： 若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频率 ； 根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度 (3) 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度 这里T是采样周期。 5、周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号 ， 为信号的频率。 可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理， 可完全等于 的采样。 例2-1 对连续的单一频率周期信号 按采样频率 采样，截取长度N分别选N =20和N =16，观察其DFT结果的幅度谱。 解 此时离散序列 ，即k=8。用MATLAB计算并作图，函数fft用于计算离散傅里叶变换DFT，程序如下： k=8; n1=[0:1:19]; xa1=sin(2*pi*n1/k); subplot(2,2,1) plot(n1,xa1) xlabel(t/T);ylabel(x(n)); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1); subplot(2,2,2) stem(n1,xk1) xlabel(k);ylabel(X(k)); n2=[0:1:15]; xa2=sin(2*pi*n2/k); subplot(2,2,3) plot(n2,xa2) xlabel(t/T);ylabel(x(n)); xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2); ??????????????????????? subplot(2,2,4) stem(n2,xk2) xlabel(k);ylabel(X(k)); 计算结果示于图 (a)和(b)分别是N=20时的截取信号和DFT结果，由于截取了两个半周期，频谱出现泄漏；(c) 和(d) 分别是N=16时的截取信号和DFT结果，由于截取了两个整周期，得到单一谱线的频谱。上述频谱的误差主要是由于时域中对信号的非整周期截断产生的频谱泄漏。 * * ?二、频谱分析的近似过程出现问题及解决办法 1、混叠 （1）混叠现象 对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样 采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。 ? 2、? 泄漏 (1) 产生原因 处理实际信号序列 x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗 w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。 我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。 例如，信号为 ，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在Ω0处的一根谱线变成了以Ω0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（Ωs）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即