二项分布近似公式的限制条件及修正.pdfVIP

维普资讯 第 23卷第 6期 大 学 数 学 Vol_23，№ ．6 2007年 12月 C()LLEGE MATHEM ATICS Dec．2007 二项分布近似公式的限制条件及修正 王雅玲 (北京工商大学 数学系 ，北京 100037) [摘 要]中心极限定理使我们可以在 “”充分大”时用正态分布作为二项分布的近似分布，从而计算相 关事件概率的近似值．本文从一个二项分布的实例谈起 ，论证 了在使用二项分布近似公式时，仅注意到 ”的 绝对大小是不够的．一个具体 的”值是否达到了 “充分大 ”这一要求 ．要视 p值而定，并根据 ”，声间的关联性， 给出了解析化的限制条件．最后 ，考虑到该公式所得近似值总体偏小，对其进行 了修正． [关键词]二项分布；正态分布；限制条件；近似公式 [中图分类号]0211．1 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2007)06一O146—04 1 问题的提 出 重贝努利概型在概率论的理论研究和实际应用中都有重要 的意义 ，与其相对应 的二项分布是概 率论中最重要的分布律之一 ，在研究产品质量，工作效能，指标控制等实际问题中得到广泛应用．在对这 些 问题进行决策时 ，不可避免地要涉及到关于二项分布的计算问题．对于服从二项分布的随机变量，我 们经常借助两个定理——泊松定理和棣莫弗一拉普拉斯定理 ，进行近似计算． 泊松定理 设 0是一常数， 是任意正整数 ，记 np，一 ，则对于任意一个固定的非负整数是，有 ( (1-- ． 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理 设 随机变量 (一1，2，…)服从参数为 ，P的二项分布 ，则对 于任意 ，有 一l一，imPI{~／(1一P)J)一J—j-去~2／丌e c 根据这两个定理 ，得到关于二项分布近似公式：设 X～B(，)，当 充分大时，有 P(x≤)≈∑e ·， (1) P(X≤施 ( )． (2) 对于泊松定理的应用，由条件 np一 (常数)，显然意味着当 很大时 ，P 很小．因此 ，许多教材都提到， 当 较大，P较小时有近似公式(1)，并给出了不同的建议值．如在 [1]中要求 ≥10，≤0．1；[2]中要求 ≥20，≤0．05，并且说 明，当 ≥100，np≤10时，效果更好． 但是 ，对于应用棣莫弗一拉普拉斯 中心极限定理进行近似计算 ，即关于公式 (2)的应用条件 ，相关讨 论则简略得多．[2]描述为 ：当 充分大时，可作近似计算．[1]则夸张为：正态分布作近似计算 ，它的优点 是不受 “≤01”限制 ，只要 足够大即可． 这就给初学者或者是非专业的应用人员造成一种错觉 ，似乎在任何情况下都可 以用公式 (2)作近似 计算 ，公式(2)比公式(1)优越得多([2]在其第三版 中删除了有关泊松定理的内容 ，更使以此书为教材的 [收稿 日期]2005—12—23 维普资讯 由 第6期 王雅玲 ：二项分布近似公式的限制条件及修正 147 公 ( 式 2 学生加深 了这一认识)．但事实并非如此 ，我们通过一个实例来加 以说 明．