曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析8第八章.pdfVIP

第八章：自旋 [1]在 ˆ 表象中，求 ˆ 的本征态 σ σ x x 2 （解） 设泡利算符 ， ，的共同本征函数组是： σ σ x x (s ) 和x (s ) （1） 1 z 1 z − 2 2 ˆ 或者简单地记作α 和β，因为这两个波函数并不是σ 的本征函数，但它们构成一个完整 x ˆ 系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），σ 的本征函数可表 x 示： χ = c α + c β (2) 1 2 ˆ ˆ c , c 待定常数，又设σ 的本征值λ，则σ 的本征方程式是： 1 2 x x ˆ (3) σ χ = λχ x 将（2）代入（3）： ˆ σ (cα +c β) = λ(cα +c β) (4) x 1 2 1 2 根据本章问题6（P．264）， ˆ 对 ˆ 表象基矢的运算法则是： σ σ x z ˆ ˆ σ α = β σ β=α x x 此外又假设 ˆ 的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： σ x cβ+cα = λcα +λc β 1 1 1 2 比较α, β的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ⎧ c = λc − − − − − − − − − − − −(6a) ⎪ 1 2 ⎨ c = λc − − − − − − − − − − − −(6b) 2 1 ⎪ 2 2 c + c =1 − − − − − − − − − − − −(6c) ⎩ 1 2 2 前二式得λ = 1，即λ =1 ，或λ = −1 当时λ = 1 ，代入（6a）得c = c ,再代入(6c)，得： 1 2