弹性力学第七章.pptVIP

从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系： ⑴ 若位移确定，则形变完全确定。 几何方程 从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。 —沿x , y , z 向的刚体平移； ⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。 ∵由形变求位移，要通过积分，会出现待 定的函数。若 ，还存在对应的位移分量为 (b) 几何方程 —绕x , y , z轴的刚体转动角度。 若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为 ( c ) 位移边界条件 (d) 其中由于小变形假定，略去形变的二、三次幂。 体积应变 体积应变定义为 空间问题的物理方程 可表示为两种形式： ⑴ 应变用应力表示，用于按位移求解方法： ( x ,y ,z ) (e) 物理方程 ⑵ 应力用应变表示，用于按应力求解方法： (x ,y , z) ( f ) 由物理方程可以导出 （g） 是第一应力不变量，又称为体积应力。 — 称为体积模量。 结论： 空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。 结论 思考题 若形变分量为零， 试导出对应的位移分量（7-17）。 空间轴对称问题 采用柱坐标表示 轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。 §7-5 轴对称问题的基本方程 对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)的函数。 应力中只有 (a) 形变中只有 位移中只有 轴对称问题 而由 得出为 。 平衡微分方程： 几何方程： 其中 几何方程为 物理方程： 应变用应力表示： (d) 应力用应变表示： 其中 边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。 在柱坐标中，坐标分量 的量纲，方向性，坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。 思考题 试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。 例题1 例题2 例题3 例题 例题 1 设物体的边界面方程为 F（x, y, z) = 0 , 试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力q(x, y, z), 应力边界条件是什么形式？ （x, y, z) 其中 解：当物体的边界面方程为F（x, y, z) = 0 时，它的表面法线的方向余弦 为 * 第七章 空间问题的基本理论 第七章 空间问题的基本理论 例题 第五节 轴对称问题的基本方程 第四节 几何方程及物理方程 第三节 主应力 最大与最小的应力 第二节 物体内任一点的应力状态 第一节 平衡微分方程 习题的提示和答案 教学参考资料 第七章 空间问题的基本理论 在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。 取出微小的平行六面体， 考虑其平衡条件: (a) (b) 平衡条件 §7-1 平微分方程 由x 轴向投影的平衡微分方程 , 平衡微分方程 得 因 x , y , z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。 由三个力矩方程得到三个切应力互等定理， ， 。 (x, y , z) (d) 空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量 平衡微分方程 思考题 在图中，若点o的x向正应力分量为 ，试表示点A , B的正应力分量。 在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量 … …，来求出斜面(法线 ）上的应力。 斜面应力 §7-2 物体内任一点的应力 斜面全应力p可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量: p