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标准正态分布的近似计算 梁昌洪 史小卫 李龙 (西安电子科技大学710071) 【摘要】本文针对概率论和数理统计中特别重要的标准正态分布，从二维圆近似导出了计算 标准正态分布的极为简洁的近似公式，同时得到了分位点的计算公式，其最大绝对误差优于 x 0．165％。采用主余项积分补偿，可使最大绝对误差优于1．7010。，这对理论研究和客观实 际都有广泛的应用价值． 【关键词】标准正态分布分位点二维圆近似主余项积分 1引言 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机园素的综合影响所形成 的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是根微小的，这种随机变量往往都服从 或近似服从正态分布．在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中，正态箍机变量起着特 别重要的作用。一般来说，若随机变量X满足正态分布，那么我们可以通过一个线性变换就 能将它化成标准正态分布。因此，标准正态分布是概率论和数理统计研究的重点。但在众多 的数理统计书中，往往仅给出标准正态分布查询表，这是不方便实际应用的．因此，本文旨 在导出一个计算标准正态分布的极为简洁的近似公式，这对理论研究和实际应用都有广泛的 意义。 2二维圆近似 从概率论和数理统计可知，若连续型随机变量x的概率密度为 I 』， P(z)。赢矿 (1) 如图1所示，其中。为分位点。则X服从标准正态分布，∞【l】，即 一 ， 脚)2去￡J础 (2) ¨ ／＼ 圈l随机变量X的概事密度 图2二维方形区域及圆形近似 我们以函数，扣)=了杀￡e’；出为基础，进行二维圆近似分析，其中a可视为标 准正态分布的分位点。首先将其扩展到=维方形区域积分，如图2所示，即 ·880· drdy (3) [，例2=去￡￡e一2 我们以半径为R的圆形区域逼近方形区域，如图2所示，并将积分转变成极坐标形式， 此时积分可以解析，即 e’等p撕-1_。’争1 (4) 【，(硼2“去r’r 我们以等面积逼近作为近似的起始点，即x．R2=4a2，从而五=—睾：口，可得 、，玎 广■写． 4 (5) ／Ca)=～1一g 如果gt0，即口是上分位点，那此时的标准正态分布可表示为 (6) e‘；咖圭(1+√1--e-2a=) 即)=击(￡e一‰+r 如果a0，即口是下分位点，此时的标准正态分布可表示为