学业水平测试数学复习教案 第15课时空间几何体概念及三视图.docVIP

学业水平测试数学复习学案 第一．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l 4πR2 V πr2hπr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3 6．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积：S全=a2 (2)体积：V=a3 (3)内切球半径：r=a ()外接球半径 R=a； 球的截面性质 用一个平面去截一个球，截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面； (3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系： r=. 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 ．表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 对. 解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对. .将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a,b,c,则棱锥的体积V1=×abc=abc.长方体的体积V=abc,剩下的几何体的体积为V2=abc-abc,所以V1:V2=1:5,故选D. 答案:D .已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ) 解析:该几何体为直三棱柱,其表面积为2××1×1+2×12+×1=3+,选C. 答案:C 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，球的表面积。 解：设截面圆心为，连结，设球半径为， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴。 ．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。 在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。 由正弦定理，得 =2r,∴r=a。 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a， ∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a, ∴S球=4πR2=3πa2。 点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。 ，BF=，∴AF=，∴ΔABE的面积为 （2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。 （2）作轴截面如图所示， ，， 设球半径为， 则 ∴， ∴，。 ．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。 解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，， ∴，∴， ∴，∴， ∴中，， 所以，两点的球面距离等于． 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 ．．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ） A．2 B．3 C．6 D． 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。 5πcm， 故铁丝的最短长度为5πcm。 【例3】．一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积. 分析:由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可. 解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示. 可知AA′=BB′=CC′=4 cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为cm, ∴正三角形ABC的边长为|AB|==4(cm), ∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=(48+8)(cm2),体积为V=S底|AA′|=×42sin60°×4=16 (cm3). 故这个三棱柱