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圆的综合练习题答案 2011-9-29 1.如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. （1）求证：是的切线；∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD， ∴ ∠EAB+∠BAD =90°. ∴ AD是的切线. …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ∴ …………………………………………………4分 ∴ ∴ . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D. （1）求证：FD是⊙O的切线； （2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长； 证明：连OC（如图①）， ∵OA＝，∵OE⊥AC， 又∠FCA＝∠AOE， 图① ∴∠1＋∠FCA＝90°. 即∠OCF＝90°. ∴FD是⊙O的切线. ……………………………………………………2分 （2）连接BC（如图②）， ∵OE⊥AC，∴＝OE∥BC且.……………3分 ∴△OEG∽△CBG. 图② ∴. ∵OG＝2，∴CG＝4. ∴OC＝6. ………………………………………………………………5分 即⊙O半径是6. 3.如图，以等腰中的腰为直径作⊙，交底边于 点．过点作，垂足为． （I）求证：为⊙的切线； （II）若⊙的半径为5，，求的长． 解：（I）证明：连接，连接 是直径，， 又是等腰三角形，∴是的中点． ． ，． 为⊙的切线． （II）在等腰中，，知是等边三角形． ⊙的半径为5，，． 4. 如图△ABC中，AB=AE以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于P . （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AE=5，BE=6，求DC的长.= 即= ∴ DC= 5分 5.在Rt△ABC中，∠C=90， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F （1）求证:AC是⊙O的切线; （2）联结EF，求的值. （1） 证明：连结OD，1分∵，∴． 又∵BD为∠ABC的平分线，∴． ∵，∴∴，即∴又∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． 分（2） 解：∵ DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中， ， ∴ ∵，，∴△ADO∽△ACB． ∴．∴． ∴．∴分 又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC ∴．7. 已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 解：证明：如图，连结 OD． ∴∠CAD=∠DAE．．．．．．．AF∶AC= AB∶AE． ∵ AF∶FC=5∶3，AE=16， ∴5∶8=AB∶16． ∴AB= 10．…………………………………………………………5分 8已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E． （1）求证：AD是圆O的切线； （2）若PC是圆O的切线，BC = 8，求DE的长． （1）证明：∵AB = AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD． 又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．（）解：结OP， 由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2． ∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴． 由勾股定理，得．在△OPC中， 在△DEC中， 9.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF． 求证：DE是⊙O的切线； 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长． 证明：（1）连接OC, 10如图，⊙O的直径，点是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，联结． （1）若，求的长； （2）若点在的延