二次曲线的渐近方向中心渐近线.docVIP

§5.2? 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 一、渐近方向 1.定义1： 满足条件?(X, Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线F(x, y)=0的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无数多. ?(X, Y )= a11X 2+2a12XY+ a22Y 2=0中，因为a11，a12， a22不全为零，所以渐近方向X:Y总有确定的解： (1)??? 如果a11≠0，那么? a11()2+2a12()+a22=0, 则得 ?? ?????????????????X:Y =(－a12±): a11=(－a12±): a11; (2)??? 如果a22≠0，那么? a22()2+2a12()+a11=0, 则得 ?? ???????????????Y:X =(－a12±): a22=(－a12±): a22; (3)??? 如果 a11 =a22 =0, 那么一定有 a12≠0，这时 2a12XY=0, 所以???????????????????????? X:Y = 1:0 或 0:1, 而此时????????? I2==－a122＜0. 2. 定义2：没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的. 3. 二次曲线F(x, y)=0按其渐近方向可以分为三种类型，即 (1) 椭圆型曲线：I20; (2) 抛物型曲线：I2=0； (3) 双曲型曲线：I20. ? 二、中心 1.定义3：当?(X, Y)?0，即X:Y为非渐近方向时，二次曲线F(x, y)=0与直线l:总交于两个点(两个不同实点或两个重合实点或一对共轭虚点)，把由这两点所决定的线段叫做二次曲线的弦. 2.定义4：如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(因而C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 3.定理1：点C(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0的中心的充要条件是 ????? 证明：设点C(x0, y0)是二次曲线的中心，那么过点C(x0, y0)且以二次曲线的任意非渐进方向X:Y为方向的直线l:与二次曲线交于两点M1，M2，点C(x0, y0)就是弦M1M2 的中点.将代入二次曲线的方程可得 ?(X, Y)t2+2[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]t+ F(x0, y0)=0, 此方程有两个根t1,t2, 则M1，M2的坐标为（x0+Xt1,y0+Yt1）和（x0+Xt2,y0+Yt2）.所以中点C的坐标为????????????????????? x0=(x0+Xt1+x0+Xt2)= x0+X(t1+t2), y0=( y0+Yt1+y0+Yt2)=y0+Y(t1+t2), 从而有?????????????????????????????? t1 + t2 =0，????? 即???????????????????????? X F1(x0, y0) + Y F2(x0, y0) =0 由X:Y的任意性得??????????????????????????? F1(x0, y0)=0，F2(x0, y0)=0. 反过来，适合上面两式的点C(x0, y0)，显然是二次曲线的中心. 推论1：坐标原点是二次曲线的中心的充要条件是曲线方程中不含x与y的一次项. 推论2：二次曲线: F (x, y)=0的中心坐标由下列方程组决定 4. 定义5：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 5. 二次曲线: F (x, y)=0按其中心的分类如下： (1) 中心曲线：?????????????? I2=?0； (2) 非中心曲线：??????? I2==0，即 =， 1? 无心曲线：???????????????? =?， 2? 线心曲线：???????????????? ==. ? 三、渐近线 1. 定义5：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做这二次曲线的渐近线. 2. 定理2：二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上，成为二次曲线的组成部分. 证明：设直线l:是二次曲线的渐近线，这里 (x0, y0)是二次曲线的中心，X:Y是二次曲线的渐近方向，那么我们有 F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，?(X, Y)=0. 因此根据直线与二次曲线的位置关系，可知： 当点(x0, y0)不在二次曲线上，即F(x, y)≠0时，渐近线与这二次曲线没有交点； 当点(x0, y0)在二次曲线上，即F(x, y)=0时，渐近线全部在二次曲线上，成为二次曲