二 基于主成分分析方法确认重金属污染成因模型.docVIP

二 基于主成分分析方法确认重金属污染成因模型 2.1 主成分分析法基本原理 主成分分析法是指标筛选最常用的方法之一，它利用降维的思想，根据实际需要，从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息，把多指标转化为少数几个综合指标，减少变量的个数。故这几个综合指数能包含原信息量的80%以上即可，从而筛选出主要因子。 一个主成分不足以代表原来的n个变量，因此需要寻找第二个乃至第三、第四主成分，第二个主成分不应该再包含第一个主成分的信息，统计上的描述就是让这两个主成分的协方差为零，几何上就是这两个主成分的方向正交。具体确定各个主成分的方法如下： 设 表示第i 个主成分，i = 1,2,…,n，可设 其中对每一个i ，均有且使得的值达到最大；不仅垂直于，而且使的值达到最大；同时垂直于和，并使)的值达到最大。 1）对原始数据进行标准化处理 表1 原始数据标准化处理 Table 1 Standardization of initial data 样本\指标 x1 x2 … xn 1 Y11 Y12 … Y1n 2 Y21 Y22 … Y2n 3 Y31 Y32 … Y3n … … m Ym1 Ym2 … Ymn 标准化为： 第j个指标的样本均值： 第j个指标的样本方差： 经标准化处理后可得标准化矩阵： 2)计算相关系数矩阵R 计算标准化后的每两个指标间的相关系数，得到相关系数矩阵，即个指标的协方差矩阵。 相关系数矩阵： 式中 ， ， 是第i 个指标与第j 个指标的相关系数,是一个实对称的相关矩阵 3）计算特征值与特征向量： 根据前面得到的相关矩阵，由下式可求出相关矩阵的特征值 将上式改写成矩阵的形式为 就可得到个非负特征值，从而得到对应于特征根的个单位化特征向量，构成一个正交矩阵，记为，则 其中中的为第个主分量，为第个分量。 4）计算主成分 对于个样本中的第个样本，根据，则得到个主成分如下 对于全部的个样本，则有 即：，整理得： 式中 —样本主成分，—标准化样本。 5）主成分选择 为了合理选择少数几个主成分来有效地描述原来个指标所构成的一组样本，要引入主成分贡献率的概念及其计算方法。 若为相关矩阵的第个特征根，则 = 第个主成分的贡献率； = 前个主成分的累计贡献率。 样本前个主成分的累计贡献率表明了前个主成分能够反映原样本信息量的程度。当其达到一定水平时（），说明采用前个主成分来描述原样本所包含的信息量已经可以达到要求。 2.2 模型建立与求解 2.2.1 土壤中重金属主成分分析模型 基于附表数据《cumcm2011A附件_数据》，对每个区域的8类不同重金属污染程度进行绘图，其结果如下， 图2.1 城区5类区域8种不同重金属污染情况 由图2.1容易发现，生活区Cd、Zn和Hg污染程度较高，分别占到总体污染比例的0.33、0.27和0.20；工业区Hg、Cd成为污染的主要原因，分别占到该区污染比例的0.67、0.16；山区Cd、Zn和Pb造成该区污染的主要原因，分别占总体污染比例的0.35、0.22和0.16；交通区Hg、Cd和Zn，分别占0.43、0.25、0.12；公园绿化区Cu、Cd和Zn是造成污染的重要原因，分别占到总体污染比例的0.38、0.29和0.14. 另外，基于原始数据，得到5类不同区域的相关系数矩阵如下表2.2所示 表2.2 5类不同区域8种不同重金属污染参数相关系数表 Table 2 the correlation coefficient of 8 different heavy mental in 5 areas 元素 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn As 1 Cd 0.3805 1 Cr 0.2385 0.3492 1 Cu 0.5312 0.4987 0.3759 1 Hg 0.2934 0.3671 0.1505 0.1979 1 Ni 0.6053 0.2826 0.5271 0.4341 0.2114 1 Pb 0.4502 0.8018 0.4157 0.5052 0.3403 0.3004 1 Zn -00171 0.3464 0.4142 0.2379 0.2424 0.3343 0.3276 1 元素 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn As 1 Cd 0.3286 1 Cr 0.3796 0.5410 1 Cu 0.1529 0.5665 0.9197 1 Hg 0.1813 0.5332 0.9021 0.9835 1 Ni 0.6897