一道经典几何概型问题错解分析.docVIP

《数学通讯教师版》 2010年9月24日 田显国 463100784@ 一道经典几何概型的错解分析 四川省内江市第六中学 田显国（640001） 四川省资阳市兴隆中学 余小芳（642362） 几何概型是新课标概率模块中的最基本内容之一，早在1899年，法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）在他的成名著作《概率论》中提出一个著名几何概型的悖论“在单位圆的圆周上,任意选取两点、,连结成弦.记事件为弦长,求事件发生的概率”，即概率史上著名的“贝特朗悖论”，其矛头指向几何概型的不确定性，促使概率论向公理化方向发展. 下面对这个几何概型问题进行错解分析，并尝试揭示悖论的源头，试提出一个求解几何概型的一般性原则.以下是两类最经典的错解： 【错解一】 视圆上等长的弦为唯一的.不妨假设长度不同的弦的中点都分布在单位圆的某条半径上,如图1所示. 其中为的中点,故弦在位置时,长度刚好为；而此时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的.因此,问题就转化为弦的中点在半径上随机选取时,中点处于线段上的概率.从而求得. 【错解二】以圆内任一点为中点,可以确定一条弦.要使弦长,只需该弦的中点落在图2中的阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦,使得的概率. 容易计算, 当,即位于上图中位置时,中点到的距离为,于是. 【错解剖析】 在错解1中，在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,虽然所研究的弦两个端点与它的中点一一对应的；但是求解过程忽视了“当弦的两个端点分别在从到和从到的劣弧上等可能地选取时,弦的中点并不会相应等可能地落在半径上”；实际上,如果在图3所示位置,不妨设,则到的劣弧长即为,而,二者并不成正比. 错解2用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象,尽管圆内除圆心外的任意一点唯一地确定了一条弦，但是以圆心为中点的弦,即直径却有无数条，即有无数对的端点.因此这个对象的转化也不等价. 【正解一】该圆的周长为2.在圆上任取一点,规定它的位置是0,而圆上其余各点的位置按顺时针方向在内相应增长.设,在圆周上的位置分别是,则.又如图3所示, 当时，当且仅当 如图4,用表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域,其中阴影部分为事件构成的区域 故事件发生的概率 【正解二】由于圆是具有高度对称性的图形,可认为圆内等长的弦有且只有一条.于是不失一般性,假设点就在图3所示位置,问题就转化为另一点在半圆周上随机选取时,弦长的概率. 故本题的基本事件构成的区域为半圆周,而事件构成的区域为从到的劣弧长.根据几何概型原理得. 【正解三】与以上解法思想一致,认为圆内等长的弦只有一条,从而等长弦所对的圆心角也是相等的；当然固定点在图3位置,点在自到的半圆周上均匀地运动时,圆心角也均匀地从0增加到.因此,我们可以把问题转化为图3中,过圆心且在直径的右侧任意做射线交圆周于点,本题转化成求超过的概率问题. 又因为基本事件构成的区域为,而事件构成区域为 故 从以上两种错解和三种正解可知，我们在求解几何概型问题时，注意合理的等价转化,如正解2、正解3使得两个变元的问题变成了一个变元的问题,从而大大简化整个概率求解过程. 附：田显国 （1977－ ），男，汉族，中学数学一级教师，四川省内江市第六中学在职数学教师，善写作，主编十几部数学教辅资料，有数十篇数学专业论文在国家级刊物发表. E-mail 463100784@ Tel地址：四川省内江市第六中学数学组 640001 图2 图1 图3 图4