2012年12月紫月的初中数学组卷旋转相似.doc

2012年12月紫月的初中数学组卷 2012年12月紫月的初中数学组卷 　 一．解答题（共13小题） 1．如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点． （1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1：； （2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1：的非直角三角形的相似三角形；（直接写出） （3）如图2，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长． 　 2．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点P为对角线BD的中点，过点P作∠MPN=30°将∠MPN，绕P点旋转． （1）如图1，当∠MPN的两边分别交AB、AD于点E、F时，问△DFP是否相似，并证明你的结论． （2）操作：将∠MPN绕P旋转到图2的情形时，角的两边分别交BA的延长线、边AD于点E、F． ①探究1：△BPE与△DFP还相似吗？（只需写出结论） ②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？并证明你的结论． 　 3．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上． （1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论． 　 4．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β． （1）如图②，当β=　_________　°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上； （2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形　_________　，　_________　（不含全等三角形），并选一对证明． 　 5．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD． （1）求证：BE=CD； （2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN是等腰三角形； （3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似． 　 6．（2006?安徽）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示． 试问： （1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC； （2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比； （3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明． 　 7．如图，E是正方形ABCD中CD边上的一点，AB=，把△ADE 绕点A旋转后得△ABF，∠EAF的平分线交BC于点G，连接GE． （1）求证：EG=FG； （2）若∠DAE=15°，求GE的长； （3）当点E位于何处时，△ADE与△CGE相似？并说明理由． 　 8．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转90°，若旋转过程中OF与OA的夹角（图2中的∠FOA）的正切的值为x，两个矩形重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式； （3）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 　 9．如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的． ①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积； ②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可） 　 10．如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转1