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理论力学 建筑之家 课本及内容 力学与理论力学（下册） 中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书 作者：秦敢，向守平 科学出版社，2008 其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是理论力学课程的主要内容。 力学内容 质点运动学 质点的位置、速度、加速度，轨迹 质点动力学 质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动 质点系力学 多个质点体系的守恒量，内力和外力 非惯性参考系（平动和转动） 刚体的平面运动（角速度，角动量，转动动能， 一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等） 力学内容 质点运动学 质点运动的描述： 位置、速度、加速度随时间的变化 轨迹 坐标系： 直角坐标系（x,y,z） 柱坐标系 (r,j,z) （极坐标系）(r,q) 球坐标系 (r, q, j) 其他正交曲线坐标系 自然坐标系 其他一些应用课题 有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射） 碰撞（两体碰撞，散射截面） 振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动） 带电粒子的运动 狭义相对论 非线性力学 流体力学 连续介质体系的力学 分析力学内容 约束与虚功原理 拉格朗日力学 达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律 哈密顿力学 正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程 刚体的欧拉运动学和动力学 分析力学的基础 以牛顿三定律的经典力学为理论基础 应用数学方法建立完整的理论体系 得到一些原理性的结果 有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然 分析力学与牛顿力学方法比较 直角坐标系 直角坐标系中的矢量运算 直角坐标系的矢量运算举例 柱坐标系 球坐标系 球坐标系与直角坐标的关系 曲线坐标系 约束与自由度 一个自由质点运动的自由度为3 在有约束的情况下，运动的自由度有所减少： 约束质点在平面内运动，自由度为2 约束质点沿轨道运动，自由度为1 自由度是描述物体运动所需的独立变量个数 约束可使变量之间变得不独立，从而每个约束使系统的自由度减1。 约束与自由度 一般情况下，约束为k个方程 假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标中，有k个约束，则自由度为s=3n-k，从理论上说，可以用s个独立变量来描述系统。 这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。 约束的类型 约束方程分类，依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束； 依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束； 依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。 约束的类型 完整约束（几何约束） 稳定的几何约束 不稳定的几何约束 不完整约束 且不可积分成完整约束，也称为微分约束。 可解约束： 或 或双面可解 可积分的条件 非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积分的？若使 必须 即 则 反之亦然 约束的线性变分 完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程 变分之后，可成为线性变分，形如 可化为线性变分的非完整约束 完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如 可导致变分约束（注意到dt=0） 广义坐标 用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广义坐标，而这些坐标的数目即为系统的自由度。对应满足约束条件的质点坐标位置，有 对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。 广义坐标的选用 各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。 n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。 广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式 越简洁越好 虚位移 假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移。 位移发生在与约束面相切的方向，而约束力是发生在与约束面垂直的方向。 用广义坐标表示了各个质点的位置之后，虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，各个质点位置随之变动而产生的位移。 广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐标的变化因为有约束存在而不能任意选取。 理想约束 约束力是与约束的切线方向相垂直的，有 其中 是虚位移 习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。 分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）是理