第四章 随机向量及其数字特征.docVIP

第四章 随机向量及其数字特征 基本要求 理解二维随机变量及其分布函数的概念，熟记二维随机变量的联合分布与边缘分布的表达式，掌握联合分布的性质，掌握由联合分布决定边缘分布的方法，了解联合分布和边缘分布的关系，理解(,)的期望及方差的概念，记住协方差、相关系数的公式及意义，理解随机变量的相互独立性的概念，并能利用充要条件判断随机变量的独立性。 重点 二维随机变量的联合分布与边缘分布 难点协方差、相关系数的计算。 第一节 二维随机向量 一个试验结果用个随机变量来描述，它们各自反映试验的某一个侧面，则称个有序数组（）为维随机向量。 例如，炮弹弹着点需要由横坐标和纵坐标确定。 定义 设(,)为二维随机向量，则对任意实数，函数称为二维随机向量(,)的联合分布函数。 分布函数的性质： （1）是不减函数； （2） （3）、 、 二维随机向量(,)作为一个整体，具有分布函数，其中的分量,都是随机变量也有自己的分布函数，分别记为、，分别称为,的边缘分布函数。 关于的边际分布函数 关于的边际分布函数 联合分布边际分布，反之不真。 第二节 二维离散型随机向量 离散型(,) 取值只有有限或可列个。 所有可能取的值为，， … ┆ … … … … … … … … … 联合分布 分布函数 性质：， 边际分布， … 第 第 第… … 第 第 第… 例1 设二维随机向量(,)只能取下列数组中的值，且取这些数值的概率为。求：（1）(,)的联合分布；（2）与的边际分布 例2 袋中有2只白球，3只黑球,现进行放回地摸球,定义????? ，(1) (,)的联合分布；(2) ,的边际分布 第三节 二维连续型随机向量 连续型(,)的定义 定义 设(,)的分布函数，若存在非负函数，有 则称为(,)为二维连续随机向量。 称为联合密度，称为联合分布函数 注意 性质（1）； （2）在处连续时， （3） 边际密度函数， 例1 设随机向量(,)的联合密度函数为，其中为常数。 （1）求常数；（2）求(,)的分布函数；（3） （，，） 例2 设随机向量(,)具有下列联合密度函数，求边际密度函数 （1），（2） 均匀分布 设是平面上的有界区域，面积为，若(,)的概率密度函数为 则称(,)服从上的均匀分布。 第四节 二维随机向量的数学特征 数学期望 方差 协方差 相关系数 协方差和相关系数刻画和之间的相关程度。 性质： （1） （2），即 （3） （4） （5） 以上证明由定义容易推导。 （6） 证明从略。 （7）， 证明 对任意实数，有 所以判别式，即 （8） 由（7）知。 （9） 证明 对任意实数，有 所以判别式，即 （10）存在使 时称、不相关；时称、完全相关 注：若，则称、以概率为1存在着一种线性关系。 证明从略。 例1 设随机向量(,)的分布如下表。求的期望。 1 2 1 2 ，，，， 例2 设随机变量、的联合分布为 0 1 0 1 求（1），（2）（2002年数学三考研题） 例3 设随机变量、的相关系数为，若，求。（2003年数学三考研题） 例4 设随机变量、的相关系数为，，，求。（2003年数学三考研题） 第五节 随机向量的独立性 定义 设分别为(,)的联合分布、边缘分布函数，若对任意实数有，则称随机变量、、 因此，随机变量、，随机事件相互独立。 定理 随机变量、） 定理 若、；（2） 证明 （1）离散型： 连续型： （2） 由上述定理知， 性质 、、 证明 、，即 独立一定不相关，反之不真。 例1 设二维随机向量(,)的联合分布律为 0 1 0 0 1 求， 例2 已知随机变量和的分布律分别为 0 1 P 0 1 P 已知(1)求的联合分布律；(2) 和是否相互独立？为什么？设随机变量和的密度函数分别为，， 若与相互独立，则 （1）1 （2） （3） （4） 例4设的为；（2）；（3）、在矩形区域D：上均匀分布，证明：与相互独立。 例6 已知、与相互独立，求， 从一维随机变量到二维随机向量关键在于增加了随机变量之间的联系，而二维随机向量推广到维随机向量已无本质上的区别。 26