第五章 二维随机变量及其分布.pptVIP

皖西学院 应用数学学院 第四节 边缘分布 补充说明 二、边缘分布列 第五节 随机变量的独立性 补充说明: 第五章 课后作业 P64－65 3、6、12、14 1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。 2、类似可定义三维随机变量(X,Y,Z)的边缘分布函数。 3、由联合分布还可以反映X和Y的关系,这也是研究多维分布的原因所在。 4、对联合分布与边缘分布关系的研究,同样分离散型和连续型两种随机变量。 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为 则(X,Y)关于X的边缘分布列为 (X,Y)关于Y的边缘分布列为 注:(X,Y)的联合分布列与边缘分布列的关系,通常可以用下面的表格来反映。 各行概率相加 各列概率相加 例3 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2,从袋中任取两次,每次一球,X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字,分别在无放回和有放回时, 三、边缘密度函数 一般地， 例5 设随机变量(X,Y)的联合密度是 求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度. 解：(1) （2） 随机变量的相互独立性,是事件相互独立性的推广,在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。 回顾：事件独立性 一、独立性的定义 (1)同样可以定义多个随机变量的独立性。即满足联合分布函数等于各个边缘分布函数的乘积。 (2)定义中的条件是独立性的充要条件,对各种类型的随机变量都能成立。 (3)对于离散型和连续型的随机变量来说,还可以分别利用联合分布列和联合密度函数来反映随机变量的独立性。 二、离散型随机变量的独立性 例1 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2,从袋中任取一球,不放回或有放回袋中,再从袋中任取一球,记X、Y分别为第一、二次取的球上的数字， 问X,Y是否独立? 例2 设(X,Y)的边缘分布列如下,且已知 显然不独立. 注：联合分布列中有0一定不独立！ 三、连续型随机变量的独立性 n个连续型随机变量相互独立的充要条件是： 简单判别方法： 例3 设(X,Y)的联合密度函数为 问X、Y是否独立？说明理由。 0 1 1 解： * 概率论与数理统计 * 概率论与数理统计 引例:在下列随机试验中, (1)检验某一批钢的成分； (2)研究全国儿童的发育情况。 若对试验结果进行描述,只用一个数是不够的,需要同时用几个数,如 (1)检验钢的成分时,会涉及到含碳量、含硫量、含磷量等等； (2)研究全国儿童的发育时,会涉及到身高和体重。 即以上随机试验同时用到几个随机变量,因此引入多元随机变量。 第五章 二维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 一、n维随机变量 与一维随机变量的研究类似,我们也把随机变量分成离散型、连续型及混合型,主要研究离散型和连续型的随机变量。 回顾:分布函数的定义及其性质 二、二维随机变量的分布函数 注:联合分布函数表示两个事件同时发生的概 率。 三、二维联合分布函数的性质 单调性: 有界性: 右连续性: 非负性: 注意:上述四条性质是联合分布函数的充要条件. 关于非负性的补充说明： 不满足非负性,故不能作为联合分布函数。 例1:函数 例2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 解:由联合分布函数的性质可以得到 一、二维离散型随机变量 对于二维随机变量(X,Y),如果X和Y都是离散 型随机变量,则称(X,Y)是二维离散型随机变量。 第二节 二维离散型随机变量 联合分布列 的基本性质 非负性： 正则性： 例1 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2,从袋中任取两次,每次一球,X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字,分别在无放回和有放回时, 分析:与求一维分布列一样.确定取值,计算概率。 例2 从1,2,3,4中取一数记为X,再从1,…,X中取一数记为Y,求(X,Y)的联合分布列及P(X=Y). …… 如果存在二元非负可积函数p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)满足 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,p(x,y)称为(X,Y）的联合密度(函数). 注:在F(x,y)偏导存在的点处有： 一、定义 第三节 二维连续型随机变量 二、基本性质 非负性： 正则性： 三、概率计算 即联合密度在指定平面区域G上的二重积分。 补充说明： 类似地,可以定义更高维的连续型随机变量及其联合密度函数。并且,联合密度函数与联合分布函数也有着相似的关系;其概率计算也与二维随机变量类似。 1 1 G1 G2 1 1 G1 G2 四、常用二维连续型分布 2、二维(元)正态分布 若(X,Y)的联合密度为 例2 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的