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维普资讯 大 庆 石 油 学 院 学 报 第 32卷 第4期 2008年 8月 JOURNALOFDAQINGPETROLEUM INSTITUTE Vo1．32 No．4 Aug． 2008 Banach--Steinhaus定理的推广 胡去非，闫守峰 (华北科技学院 基础部 ，北京东 燕郊 101601) 摘 要：将 Banach--Steinhaus定理推广到拓扑向量空间上．设 X，y为拓扑向量空间，X是第二纲的，若AC!io逐点 有界，则A是等度连续的．Bo表示 X到y的连续线性算子组成的向量空间． 关 键 词：拓扑向量空间；完备；第二纲集 ；逐点有界；等度连续 中图分类号：O177．3 文献标识码 ：A 文章编号：1000—1891(2008)04—0104—03 Banach--Steinhaus定理是分析中的一个重要原理，在很多领域都有着广泛 的应用，因此对该定理的 推广很有意义．1927年 ，BanachS与 SteinhausH_1]证明X，y均为Banach空间，若 { }CB。(X到y的连 续线性算子组成的向量空间)逐点有界 ，则(fl II}必有界 ；1933年，Mazur和 Orlicz 将其推广到 F 空 间上；文献[3]作了更进一步的推广，证明X为完备的可度量化空间，y为拓扑向量空间，若ACB。逐点有 界 ，则A等度连续．笔者将该定理推广到拓扑向量空间上 ，证明X，y为拓扑向量空间，X是第二纲的，若 ACB。逐点有界 ，则A是等度连续的． 1 预备知识 用 TVS表示拓扑向量空间，如不特别指明，X，y表示 TVS．u ，u 分别表示X，y的零点邻域基．B0 (X—y)一B。表示从 X到 y的连续线性算子组成的向量空间．VTo∈B。， U(T。，B，V)一 {T ∈B。l 一丁。，z∈V，z∈B}， (1) 表示 T。点邻域 ，其中B为X上任意有界子集 ，VEU ．B(x—y)：=：B表示 Bo由式 (1)所决定的拓扑而成 的 TVS． 设 F为 X的非空子集族 ，如果 a为 F中任意元的聚点，则称a为F的聚点．如果对于 (i)VM，N∈F， E∈F，使得 ECMNN； (_．)VU∈Ux， M ∈F，使得M—McU， 则称 F为基本族．如果 A的每一基本族均存在聚点a，且a∈A，则称 A为完备的．特别当A—X 时， 称 X为完备的TVS． 设ACB。(A≠ )，如果对于Vz∈X，{TxlTEA)cy为有界 ，则称A 为逐点有界．如果对于VVE u ， U∈u ，使 { lz∈U，TEA)CV，则称A为等度连续． 2 主要结果 引理 1 设 X是第二纲的，AcX，如果 A为闭的星形吸收集 ，则A。≠{2》． 证明 因为A为星形吸收集，则对Vz∈X，．；【o及 ∈口，使得当o ．；【时，有÷z∈A，则 收稿 日期 ：2008—01—28；审稿人：刘金铎 ；编辑 ：王文礼 基金项 目：河北省教育厅 自然科学指导项 目(Z2006439) 作者简介：胡去非(1949一)，男，副教授 ，主要从事基础数学方面的研究 ·l04 · 维普资讯 第 4期 胡去非等：Banach--Steinhaus定理的推广 ∈，lA，于是X一 ： ． 又因为X是第二纲的，故 ‰∈口，noA是第二纲的．而A为闭的，则noA也是闭的．于是存在开集 ，、 ，、 GCn。A，则 CA，且 也是开集 ，所 以A。≠ z《’． t0 t0 定理 1 设 X是第二纲的，AcB0，如果 A逐点有界 ，则 A是等度连续的．