基于误差四元数的飞行器运动学方程.pdfVIP

4 . 2.3基于误差四元数的飞行器运动学方程 基于误差四元数的飞行器姿态运动学方程可描述为: 护 40,-=一合、’口 飞 1 (4.2.3) ﹄ 1 - q - 厂 龟 q 一 1 2 或 、。一粤E(4,-)w} (4.2.4) 乙 在式(4.2.3)和式闰2.4)中的F匆)和￡(4,)是分别将式(2.3.4)和式(2.3.6)中 的q以4来‘代替而得到的矩阵;矶=呵,q,,4,1伙由上面的误差四元数的描述 式我们可以看出，基于误差四元数的运动学方程(4.2.3)或4〔.2.4)和基于单位四元 数的运动学方程(2.3.3)及(2.3.5)在形式是完全相同的。因此它们应具有相同的性 质，所以 对于给定的理想四元数4J及相应的理想角速度。d，就有下列等式成 立 (a)ca,,=2E(4e)4,r (4.2.5) (b)ci)、=2E(4e)R, (4.2.6) 飞行器姿态跟踪就是在给定理想姿态四元数9,r的情况下，设计控制律使得 当前姿态四元数4在系统存在参数摄动及外界千扰的情况下，能在有限的时间内 到达4,r，即44d。当我们引入误差四元数的概念后，飞行器的姿态跟踪控制 问题就可以用误差四元数的调节问题来表示。即:给定一理想的姿态四元数4v 通过某种方法找到控制律。，在系统参数发生变化和存在外部扰动的情况下，使 得误差四元数q,=[1,0,0,0犷。 4.2.4基于误差四元数的VSS跟踪控制律的设计 由第二章中的关于VSS的设计方法可知，VSS控制器的设计可分为两个互 才目独立的步骤: (1)、设计合适的切换函数即选择合适的滑动平面s(x)，使得滑动模态稳定， 也就是使闭环系统在滑动流形:(x)_。上具有渐进稳定性。 (2)、相应的滑模变结构控制律u的设计，设计滑模vsc必须满足滑动模态 的存在条件，即该控制律能保证系统状态能在有限的时间内运动到滑动流形上。 在这里，本文选择一切换函数为: s=口。十Kq,. (4.2.7) 则由切换函数s所构成滑动流形为: s=w,+肠一=0 (4.2.8) 其中，K是3X3对称正定常数矩阵，即K=KT0。接下来我们要证明在所选的切 换函数构成的滑动平面上，滑动模态是稳定的，即闭环系统在滑动流形:=0上是 渐进稳定的。这里我们用Lyapunov直接法来证明滑动模态的稳定性。 证明:选取Lyapunov函数为V,=彭Kqe，由于K是对称的正定常数矩阵， 所以v是一个正定函数，当且仅当q=[0,0,0]T时，V=o-v,对时间的导数为: V=g,Kq+g}TKge=((gKgr)T)T+geKqe 一2q,TKq 将式((4.2.3)代入上式可得: 、一，g,K告F9(,)ocr =彭K(9o,,3x3+grx)occ 将式((4.2.8)代入上式可得: V=韶K9,.( 了3、，+grx)(-Kq,) =q,K(一。oeKge)=一9o9KKg} 二一9,(KT4})TK-q-,=-9o,(k互)T 一。orljKq-jj2_0 上式中，当且仅当仄二[0,0,0]T时，代=0，可见代是半负定函数。则由Lyapunov 直接法可知，在滑动流形:=w,+Kq,=。上，闭环系统是全局渐进收敛于平衡点 的，也就是A6系统是全局稳定的，即姿态误差四元数9,-4[1,0,0,0]。 接下来我们的任务是设计滑模V