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(Properties of Plane Areas) 截面的几何性质 (Appendix Ⅰ Properties of Plane Areas) § 1 截面的静矩和形心 (the first moment of the area centroid of an area) 一、静矩(the first moment of the area ） O y z dA y z 截面对 y , z 轴的静矩为 静矩可正,可负,也可能等于零，单位：m3 y z O dA y z 二、截面的形心(centroid of an area) C 截面对形心轴的静矩等于零. 若截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必过形心. 三、 组合截面的静矩和形心 (the first moments centroid of a composite area) 由几个简单图形组成的截面称为组合截面 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和,就等于该截面对于 同一轴的静矩. 其中： Ai —— 第 i个简单截面面积 1、组合截面静矩(the first moments of a composite area) 2、组合截面形心(centroid of a composite area)： —— 第 i个简单截面的形心坐标 解：组合图形,用正负面积法解之. 1.用正面积法求解,分解为由1,2 两个矩形组成 例1 试确定图示截面形心C的位置 取 y 轴和 z 轴分别与截面的底边和左边缘重合 10 10 120 90 1 2 O z y 矩形 1 矩形 2 10 10 120 O 1 2 z y 90 所以 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 图(b) C1（0,0） C2（5,5） C2 负面积 C1 y z § 2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、product of inertia) y z O dA y z ? 二、极惯性矩 (Polar moment of inertia） 一、惯性矩(Moment of inertia) 所以 y z O dA y z ? 三、惯性积 (product of inertia) 惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能 为正值,负值,也可能等于零. 若 y , z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对y , z轴的惯性积一 定等于零. y z dy dy z dA dA 单位：m4 解： b h y z C z dz 例 2 求矩形截面对其对称轴 y, z 轴的惯性矩. z y d 解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为 例 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 所以: y z O C(a,b) b a 一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia) (a , b ) _____ 形心C在 yOz坐标系下的坐标. § 3 平行移轴公式 (Parallel--Axis Theorem) y, z ——任意一对坐标轴 C —— 截面形心(centroid of an area) y z O C(a,b) b a zc yc yc , zc ——过截面的形心 C 且与 y, z轴平 行的坐 标轴(形心轴） Iy , Iz , Iyz _____ 截面对 y, z 轴的惯性矩 和惯性积。 Iyc ,Izc , Iyczc —— 截面对形心轴 yc , zc 的惯性矩和惯性积。 已知截面对形心轴 yC ，zC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 y, z轴惯性矩和惯性积 则平行移轴公式(Parallel-Axis formula) 二、组合截面的惯性矩 ( moment of inertia for composite areas ） Iyi , Izi — 第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩 组合截面的惯性矩 例 4 求T形截面对其形心轴 yC 的惯性矩. 解：将截面分成两个矩形截面. 截面的形心必在对称轴 zC 上. 取过矩形2的形心且平行于底边的 轴作为参考轴记作y轴. 20 140 100 20 2 1 zc yc 所以截面的形心坐标为 y 20