南大数值分析课件§3厄米插值.pptVIP

* §3 厄米插值 /* Hermite Interpolation */ 不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。 即：要求插值函数 ? x 满足? xi f xi , ?’ xi f ’ xi , …, ? mi xi f mi xi . 注：? N 个条件可以确定 阶多项式。 N ? 1 ?要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式 其余项为 ?一般只考虑 f 与f ’的值。 §3 Hermite Interpolation 例：设 x0 ? x1 ? x2, 已知 f x0 、 f x1 、 f x2 和 f ’ x1 , 求多项式 P x 满足 P xi f xi ，i 0, 1, 2，且 P’ x1 f ’ x1 , 并估计误差。 模仿 Lagrange 多项式的思想，设 解：首先，P 的阶数 3 ?  + 2 1 3 0 i i i x h x1 f ’ x h x f x P ? h0 x 有根 x1, x2，且 h0’ x1 0 ? x1 是重根。 2 2 1 0 0 x x x x C x h - - 又: h0 x0 1 ? C0 h2 x h1 x 有根 x0, x2 ? 2 0 1 x x x x B Ax x h - - + 由余下条件 h1 x1 1 和 h1’ x1 0 可解。 与h0 x 完全类似。 x ? h1 有根 x0, x1, x2 ? ? h1 2 1 0 1 x x x x x x C x - - - ? h1 又: ’ x1 1 ? C1 可解。 其中 hi xj ?ij , hi’ x1 0, xi 0, ’ x1 1 ? h1 ? h1 与 Lagrange 分析完全类似 §3 Hermite Interpolation 例1 §3 Hermite Interpolation 一般地，已知 x0 , …, xn 处有 y0 , …, yn 和 y0’ , …, yn’ ，求 H2n+1 x 满足 H2n+1 xi yi ， H’2n+1 xi yi’。 解：设 ? + n i 0 i i x h x h yi x H2n+1 ? ? n 0 i yi’ 其中 hi xj ?ij , hi’ xj 0, xj 0, ’ xj ?ij ? hi ? hi hi x 有根 x0 , …, xi , …, xn且都是2重根 ? ? 2 x l B x A x h i i i i + 由余下条件 hi xi 1 和 hi’ xi 0 可解Ai 和 Bi ? x ? hi 有根 x0 , …, xn, 除了xi 外都是2重根 ? ? hi i i li2 x x x C x - ? hi 又: ’ xi 1 ? Ci 1 ? hi x i li2 x x x - 设 则 这样的Hermite 插值唯一 §3 Hermite Interpolation 例2 §3 Hermite Interpolation Quiz: 给定 xi i +1, i 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 h2 x 的图像？ ? x 0 - - 1 0.5 1 2 3 4 5 6 y x y 0 - - - 1 0.5 1 2 3 4 5 6 斜率 1 ? ? 求Hermite多项式的基本步骤： ? 写出相应于条件的hi x 、 hi x 的组合形式； ? ? 对每一个hi x 、 hi x 找出尽可能多的条件给出的根； ? ? 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； ? 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； ? 最后完整写出H x 。 HW: p.120-121 #21，#22，#23 §4 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ Remember what I have said Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating. 例：在[?5, 5]上考察 的Ln x 。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4