里兹(Ritz)近似方法与数值方法的比较分析.pdfVIP

里兹(Ritz)近似方法与数值方法的比较分析 1 2 1 1 张敏 ，John C. Chai ，许彬 ，张钧波 1 南京理工大学动力工程学院，南京 (210094) 2 南洋理工大学机械与航天学院，新加坡 (639798) E-mail ：mz2455@163.com 摘 要：在系统地介绍里兹变分近似方法的基础上，通过一个直角坐标系和一个圆柱坐标系 的算例，对稳态热传导问题进行了计算，同时与数值解和精确解进行比较分析。整个分析过 程清楚流畅，结果正确可靠。 关键词：里兹近似方法，数值方法，变分原理 热传导问题的求解在人类科学史中有着悠久的历史。首先，在几何形状简单，微分方程 与边界条件都是线性时，人们可以通过数学解析方法（精确解方法）来找到问题的答案。对 于非线性的问题，只有极少数的特殊情况才能精确求解。另外，解析解也不适用于几何形状 复杂的情况。 数值计算方法是近年来发展成熟的有效方法。从理论上而言，它可以解决几乎大多数 的问题，不论线性与非线性，几何形状简单与复杂。但在实际工程问题中，有许多问题完全 进行数值求解现在还不可能。当遇到解析分析求解太难或无法求解，而数值求解又不合适的 情况时，近似分析求解方法可能是一个好的选择[1-4] 。 数学解析分析解，近似分析解和数值解是三种科学研究中基本的方法，它们反映了人 们认识事物的发展规律。它们侧重点有所不同，各俱优缺点，互相补充，互相融合。数学精 确解为我们展示了事物的数学和物理抽象概念，有利于更好地理解影响该问题各种参数的物 理意义；近似解为精简地解决工程问题提供了方便；而数值解为全面透视问题提供了依据[5] 。 本文在热传导问题中，以变分里兹近似方法为重点，结合分析解析解和数值解，全面 地展示三者之间完美结合解决问题的风采。 1. 里兹近似方法的基本理论 只要等价与稳态热传导方程的变分表达式是存在的，就可用由里兹最先提出的一种简单 而有效的方法对该问题做近似求解。有关里兹近似方法理论与应用的进一步论述，读者可查 阅 [1] [6]。在有限区域内稳态热传导问题具有如下的形式 ， 1 2 ∇ T (r) +A(r)T (r) + g(r) 0 区域R内 (1a) k ∂T +H T f (r ) 边界s处 (1b) i i s i ∂n i 式中i=1,2,… ；S 为区域R 连续边界面的个数；∂/ ∂n 是区域R 的表面s 的外法向导数。等 i i 价问题（1）的变分表达式为， ⎡ 2 2 2 ⎤ s 2 I =∇T −AT − gT dv + H T − f T ds ∫R ⎢⎣( ) k ⎥⎦ ∑∫si ( i 2 i ) i (2) i 1