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关于可测函数列极限的积分性质 12统计师资班 黄彩珠 2012264210 摘要：积分号下取极限或逐项积分在理论和实际应用中都有十分重要的意义。本文讨论测度空间上可测函数列极限的积分性质，中心问题是可测函数列的单调收敛定理之Fatou引理及其推论的证明。 关键词：可测函数列 单调收敛定理 Fatou引理 引言： 积分号下取极限或逐项积分在理论和实际应用中都非常重要。讨论测度空间上可测函数列极限的积分性质，本文主要问题在于可测函数列的单调收敛定理之Fatou引理及其推论的证明。 一、可测函数积分的定义 1.非负简单函数的积分 设f是一个非负简单函数而是它的一个表达式。称为f的积分。 2.非负可测函数的积分 对于测度空间上的非负可测函数f，称 为f的积分。 3.一般可测函数的积分 测度空间上的可测函数f如果满足，则称其积分存在或者有意义；如果满足，则称它是可积的，其中叫做f的积分。 命题1. 设f、g是测度空间上的非负可测函数。 （1）； （2） 二、若干定理 定理1. 设f，g是测度空间上的可测函数。 （1）如果f积分存在，则对任何，有=0； （2）如果f，g积分存在且，则； （3）如果，则只要其中任一个的积分存在，另一个的积分的存在而且两积分值相等。 定理2. 设f，g是测度空间上的积分存在的可测函数。 （1）对任何的积分存在，且； （2）如果有意义，则有定义，其积分存在且 。 定理3（Levi定理） 设和均为非负的可测函数。如果，则 三、主要结果 定理（Fatou引理） 对任何非负可测函数的序列，有 证明：令且，因而由定理3推 知，记= 。 （其中，由命题1得 ），故Fatou引理证完。 Fatou引理有下列推论： 推论：设是可测函数列。 （1）若存在可积函数g使对每个成立，则积分存在且 成立。 （2）若存在可积函数g使对每个成立，则积分存在且 证明（1） 先证积分存在。 由，令又g为可积函数且积分存在，则由定理1之（3）（如果，则只要其中任一个的积分存在，另一个的积分的存在而且两积分值相等。）得：积分存在。 再证： 已知，令，则，由定理2和定理3推知： 其中：， ， 又。 故得证： （1）证完。 证明（2）：先证积分存在。 由，令，又g为可积函数； 则由定理1得：积分存在。 再证： 已知，令。 则，由定理2和定理3可知： 其中：； ；（2）证完。 参考文献 [1]程士宏，测度论与概率论基础，北京：北京大学出版社，2004年 [2]江泽坚，实变函数论，第三版，高等教育出版社