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让我们走近极限 江苏省常熟职业教育中心校 215500 钱芬 摘要：极限是微积分的理论基础，如何在教学过程中加强学生的极限思想教育，提高学生的极限运算能力，让学生了解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系，是高职数学教学的重要环节。本文对《极限》一节教学进行反思，用科学的、发展的观点理解极限概念，为学生后续课程的持续学习打好基础。 关键词：高等数学 极限思想 极限运算 教学反思 极限是微积分的理论基础，它与微积分的许多内容有着广泛的联系。导数实质上是一类特殊的极限，定积分是“和的极限”，可以说微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的因此建立。然而由于长期研究有限问题，形成了一定的思维定势；再加上求极限的方法多，运用灵活，以致相当多的学生学完了，极限意识仍然淡薄，极限的思想方法仍难以应用理定义的结构，初中三年级教科书中“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透极限思想渗透３、８１１，感受商的小数点后面的数字写不完，从而体会循环小数的小数部分的位数有无限多，渗透极限思想。 片段3：讲述古代数学家刘徽的故事。 一天，刘徽观看石匠师傅干活，只见一块方石，经石匠师傅砍去四角，就变成一块八角形的石头，再去掉八角又变成十六角形，这样一凿一斧的砍下去，一方形石料就能加工成光滑的圆柱了。刘徽恍然大悟，后在《九章算术》注中提出了割圆术并指出：圆内接正多边形的面积小于圆面积，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这段话包含极限思想，思路非常明晰，为我国古代的圆周率计算确立了理论基础。 片段4：利用多媒体圆的面积引导学生把圆平均分成8等份，16等份后拼插，学生逐步感知当分的份数越多时，拼插的图形越接近长方形，再接着把圆分成32等份、64等份……学生清楚地看到拼得的图形已近似长方形，学生通过想象可以得出：无穷地等分下去，拼插的图形就会成长方形学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。教学中，一味追求定义的精确严密，理定义的结构学生容易接受的语言描述确立研究对象让学生认识到研究的对象是函数数列是一种特殊的函数，它的定义域为自然数集N。先从数列极着手讨论，便于对一般函数的极限研究。考察函数的运动状态对于数列函数f(n),自变量n的变化趋势只存在一种即n→∞;而对于一般函数，自变量x存在两种不同的变化趋势，即和x→∞。研究函数的确定性变化趋势当数列或函数在某一运动状态下，无限趋近于一个定常数时，该常数即为上述状态下的数列或函数的极限若它的趋势不能唯一确定，则称此状态下极限不存在由函数极限的确定性，我们还可以进一步引伸、分化到函数的左、右极限的概念，并由此归纳总结得结论：极限存在的充要条件为左右极限存在且相等。，，，，，，，等等，这些记号可以运用数形结合的思想加以区别理解。 以上分析能理清定义的结构，使学生对极限概念有个清晰、整体的认识，从而促进学生对概念本质的理解、掌握和应用。极限是整个高等数学的基础,初学者往往有导数容易极限难的感叹因为极限的概念抽象费解,还由于极限的求法灵活多变且涉及数学理论面较广学生往往遇到求极限问题不知所措，无从下手主要原因在于学生对于求极限的公式、性质和法则往往还只是停留在粗浅了解和表象记忆上。为此，在教学中，对各类求极限问题进行系统整理和分类，通过铺，让学生觉得有一定的可循，减少学生思路上混乱 (为常数)； ⑵； ⑶； ⑷ （为正实数）； （5） ， 其中和都是常数，且。 两个重要极限 ⑴ ⑵=e 2、求极限的几种常用方法： ⑴利用函数的连续性求极限（代入法） 运用定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的，由函数在一点处的连续性知极限值等于函数值，直接把值代入函数式中得到结果，这种方法有助于消除学生对函数极限概念及函数极限运算的胆怯的心理。 ⑵利用因式分解约去分子、分母零因子求极限 分子、分母是型，可以先通过因式分解约去分子、分母零因子，然后再用代入法求极限。 ⑶分子、分母是型，利用第五个基本极限公式求极限 例：求① ； ② ； ③； 观察上述三个函数，当时，分子、分母的极限都不存在，但运用基本极限可以直接读出结果： ①式中，最高次都是3，系数分别是2、7，所以结果是； ②式中，分子的最高次是2，分母的最高次是3，3＞2所以结果是0； ③式中，分子的最高次是3，分母的最高次是2，2＜3，所以结果是∞； ⑷通过分子、分母有理化求极限 例：求 ； 解：= 当函数的极限是“∞±∞”，不可以因式分解，可灵活运用代数方法将化为分式，进而求解。 ⑸利用无穷小的性质2，有界函数与无穷小