解背包问题的动态规划算法.doc

解0/1背包问题的动态规划算法 摘要：本文通过研究动态规划原理，提出了根据该原理解决０／１背包问题的方法与算法实现，并对算法的正确性作了验证．观察程序运行结果，发现基于动态规划的算法能够得到正确的决策方案且比穷举法有效． 关键字：动态规划；０／１背包；约束条件；序偶；决策序列；支配规则 1、引 言 科学研究与工程实践中，常常会遇到许多优化问题，而有这么一类问题，它们的活动过程可以分为若干个阶段，但整个过程受到某一条件的限制。这若干个阶段的不同决策的组合就构成一个完整的决策。0/1背包问题就是一个典型的在资源有限的条件下，追求总的收益最大的资源有效分配的优化问题。 对于0/1背包问题，我们可以这样描述：设有一确定容量为C的包及两个向量C’ （S1，S2，……，Sn）和P （P1，P2，……，PN），再设X为一整数集合，即X 1，2，3，……，N，X为SI、PI的下标集，T为X的子集，那么问题就是找出满足约束条件∑Si〈 C，使∑PI获得最大的子集T。在实际运用中，S的元素可以是N个经营项目各自所消耗的资源，C可以是所能提供的资源总量，P的元素可是人们从各项项目中得到的利润。 0/1背包问题是工程问题的典型概括，怎么样高效求出最优决策，是人们关心的问题。 2、求解问题的动态规划原理与算法 2．1动态规划原理的描述 求解问题的动态规划有向前处理法向后处理法两种，这里使用向前处理法求解0/1背包问题。对于0/1背包问题，可以通过作出变量X1，X2，……，XN的一个决策序列来得到它的解。而对于变量X的决策就是决定它是取0值还是取1值。假定决策这些X的次序为Xn，XN-1，……，X0。在对X0做出决策之后，问题处于下列两种状态之一：包的剩余容量是M，没任何效益；剩余容量是M-w，效益值增长了P。显然，之后对Xn-1，Xn-2，……，X1的决策相对于决策X所产生的问题状态应该是最优的，否则Xn，……，X1就不可能是最优决策序列。如果设Fj（X）是KNAP（1，j，X）最优解的值，那么Fn（M）就可表示为 FN（M） max fn M ,fn-1 M-wn +pn （1） 对于任意的fi X ,这里i 0，则有 fi X max fi-1 X ,fi-1 X-wi +pi （2） 为了能由前向后推而最后求解出FN（M），需从F0（X）开始。对于所有的X 0,有F0（X） 0，当X 0时，有F0（X）等于负无穷。根据（2），可求出0〈X〈W1和X〉 W1情况下F1（X）的值。接着由（2）不断求出F2，F3，……，FN在X相应取值范围内的值。 2．2 0/1背包问题算法的抽象描述 初始化各个元素的重量W[i]、效益值P[i]、包的最大容量M； 初始化Ｓ0； 生成Si； 在中Ｓi-1找满足约束条件的第R对序偶； 生成S1i ; 清除不满足条件的序偶； 将Sn-1中满足条件的序偶复制到Sn 中； （4）对Sn+1置初值； （5）若不满足循环次数转（3）,否则转（６）； （6）用回溯法确定决策序列；终止程序。 2．3计算复杂性分析 假设Si的序偶是|Ｓi |。在i＞０的情况下，每个Ｓi由Ｓ1i-1和Ｓ1i归并而成，并且｜Ｓ1i | |Ｓi-1 |,因此｜Ｓi | 2|Ｓi-1 |。在最坏情况下没有序偶被清除，所以 对|Ｓi|求和 i 0,1,2,．．．n-1 的结果是２n-1,也就是说ＤＫＮＡＰ的空间复杂度为Ｏ（２n）。 由Ｓi-1生成Ｓi需要|Ｓi-1||的时间，所以在计算S0，S1，S2，……，Sn-1时所消耗的总时间为（∑|Ｓi-1|），0〈＝i〈＝n－１。由于｜Ｓi｜〈＝２n，所以计算这些Ｓi总的时间为Ｏ（２n）。 该算法的时间复杂性为Ｏ（２n），似乎表明当Ｎ很大时它的有效性不会让人满意，但由于支配规则的引入，很好的清除了不满足约束的序偶，因而该算法在很多情况下都能在可接受的时间内求出决策序列。 ２．４基于动态规划的算法源程序 由于算法源程序有一定的篇幅，将其附后。 3、性能测试 ３．１测试问题 为了验证算法的正确性与有效性，用两个数组Ｐ［Ｎ］和Ｗ［Ｎ］分别存储 始记录Ｃ’和P，记录为用穷举法已求出最优决策的实例。现分别取Ｎ＝3，4 ，6，10进行实验。 3．2试验结果与分析 为了便于说明问题，现将实验过程中的N取不同值的一组向量Ｃ’和P（也就 是重量与效益值）记录如下： N 3：Ｃ’ （2，3，4）；P （1，2，5）；M 6； N 4：Ｃ’ （2，4，6，7）；P （6，10，12，13）；M 11； N 6：Ｃ’ （100，50，20，10，7，3）；P （90，70，30，20，5，15）；M 165； N 10：Ｃ’ （2，4，5，7，10，14，19，20，25，30）； P （1，3，4，5，10，15，20，25