工程力学课件：单元七.ppt

建筑力学 单元七 平面弯曲 平面弯曲的概念 工程实际中绝大部分的梁，其横截面都有一根对称轴，因而整个梁有一包含轴线在内的纵向对称面。当作用在梁上的所有横向外力（或外力的合力）均位于该纵向对称面内时，由对称性可知，梁变形后的轴线必定是一条与外力位于同一平面内的平面曲线。 剪力和弯矩 剪力和弯矩的正负号规定 横截面上剪力FQ，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有横向外力的代数和，即 横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧）或（右侧）梁上所有外力对该截面形心C的力矩的代数和，即 剪力方程和弯矩方程 通常在梁的不同横截面或不同梁段上，剪力与弯矩沿梁轴变化。若沿梁轴取x轴，其坐标x代表横截面所处的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即 这种关系式分别称为梁的剪力方程与弯矩方程。 剪力图、弯矩图坐标方向规定 绘剪力图时，将正值的剪力画在x轴的上方，负值剪力画在x轴的下方。绘弯矩图时，将正值弯矩画在x轴的下方，将负值弯矩画在x轴的上方，即将弯矩画在梁的受拉侧。 剪力图、弯矩图绘制方法 根据剪力方程、弯矩方程作剪力图和弯矩图时，先求支反力（对悬臂梁可以例外），再根据梁的载荷与支承情况将梁分段，并分段建立剪力方程、弯矩方程，然后，按剪力方程、弯矩方程计算各控制截面的剪力和弯矩，绘出剪力图与弯矩图。 注意：作梁剪力图和弯矩图时，由于它们将是梁强度设计和刚度设计的重要依据，必须标明剪力和弯矩的正负号及各控制截面（包括内力的峰值截面）的剪力和弯矩值，以使梁的内力及变形情况可以从其剪力和弯矩图中反映出来。 刚架内力图绘制 （1）计算轴力、剪力及弯矩时，有关拉压杆与直梁的内力正负号规定及计算公式仍然可用，但要求观察者必须站在刚架的内侧面对各杆或各横截面。 （2）作弯矩图时，习惯上将弯矩统一画在各杆的受拉一侧，而不必标注正负号；作轴力图和剪力图时，习惯上将正值轴力与剪力画在各杆的外侧，并且必须标注正负号。而其余作图步骤则与直梁的完全相同。 载荷、剪力与弯矩间的微分关系 载荷图与剪力图、弯矩图三者之间的关系如下： （1）在有均布载荷作用的梁段上（q=常量），剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线。当均布载荷q指向下时，FQ图从左到右斜向下，M图为下凸抛物线；反之亦然。 （2）在无载荷作用的梁段上（q=0），剪力图为一与x轴平行的直线，弯矩图为斜直线。当FQ为正号时，M图从左到右斜向下，反之亦然。 （3）在集中力作用处，剪力图有跳跃（突变），且从左到右跳跃的方向与外力指向一致，跳跃值等于该集中力的值。而弯矩值在该处无变化，但弯矩图在该处的斜率有突变，因此弯矩图在此有尖角。 （4）在集中力偶作用处，剪力图无变化，但弯矩图在该处有跳跃（突变）。当集中力偶矩为顺时针转时，弯矩图从左到右在该处向下跳跃，其跳跃值等于该集中力偶的值；反之亦然。 （5）在集中力、集中力偶作用处或剪力为零的截面上可能出现峰值弯矩。 等直矩形截面梁收弯后的变形 （a）梁表面的横向线变形后仍为直线，只是转动了一个小角度； （b）梁表面的纵向线变形后均成为曲线，但仍与转动后的横向线保持垂直，且靠近凹边的纵向线缩短，而靠近凸边的纵向线伸长。 横力弯曲梁横截面正应力 对于横力弯曲的梁，由于剪力及切应力的存在，梁的横截面将不再保持平面而产生翘曲。此外，由于横向力的作用，在梁的纵向截面上还将产生挤压应力。但精确的理论分析表明，对于一般的细长梁（梁的跨度l与横截面高度h之比＞5），横截面上的正应力分布规律与纯弯曲时几乎相同，即切应力和挤压应力对正应力的影响很小，可以忽略不计。 弯曲切应力及其强度条件 对于工程中常见的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁的安全，必须控制梁内最大弯曲正应力不超过材料的弯曲许用应力[]，即等直梁的弯曲正应力强度条件为 矩形截面梁的切应 矩形截面 矩形等截面梁弯曲切应力的计算公式为 圆截面 对于圆形截面，由切应力互等定理可知，横截面周边上各点处弯曲切应力必与周边相切，故在横截面上除竖直对称轴及中性轴上各点外，其余各点处切应力方向不再平行于剪力FQ。最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，各点切应力大小相等，方向平行于剪力FQ，其值仍可用公式（7-13）计算，即 弯曲切应力强度条件 一般情况下，等直梁在横力弯曲时，最大弯曲切应力发生在最大剪力所在截面（称为危险截面）的中性轴上各点（称危险点）处，而中性轴上各点处的弯曲正应力为零，故最大弯曲切应力所在中性轴上各点均处于纯剪切应力状态，相应的强度条件为 梁的挠曲线近似微分方程 简支梁的挠屈 用积分法求梁的变形 梁的转角方程族和挠度方程族分别如下