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生产过程调度的数学模型 陈丹妮 （韶关学院 数学系 98数学本科班，广东 韶关 512005） [摘要]：本文建立了生产过程调度的数学模型．利用运筹学和初等数学的相关知识，得出了相同资源独立运作和相同资源可以通用两种情况下的无资源浪费、均衡生产的生产规模，相应周期和调度方案，以及在资源限制条件下的最优调度方案． 关键词：数学模型；生产规模；周期；调度方案 1 问题的提出 图1-1是某企业的生产示意图，A0是出厂产品，A1，A2,…,A6是中间产品，AiAj表示生产一个单位Aj产品需要消费k单位Ai，其余类似． 图1-1 生产结构示意图 表1-1给出了生产单位产品所需的资源（工人，设备）和时间，注意表中所给数据是基本的，即既不能通过增加工人和设备来缩短时间，也不能通过加长时间而节省工人和设备． 表1-1 生产单位产品所需的资源和时间 产品 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 需 要 的 资 源 I类工人 71 27 34 37 18 33 17 II类工人 30 18 17 13 12 28 23 技术工人 7 9 0 7 6 5 11 甲类设备(台) 4 3 0 4 2 0 2 乙类设备(台) 1 3 1 0 2 5 6 加工时间(小时) 6 3 6 5 2 1 2 问题1 无资源浪费、连续均衡生产的最小生产规模是多大？相应的最短周期是多少？其中“无资源浪费”指在整个生产周期中没有闲置的设备和闲散人员．“连续”指整个周期中所有产品的生产过程不会停顿．“均衡”指所有中间产品A1,…,A6的库存与上一周期结束时的库存相同．“生产规模”指完成整个生产过程所需各种资源的总和． 问题2 如果考虑相同的资源可以通用，那么问题1得到的最小生产规模在无资源浪费、均衡生产中能否减少？请写出你得到的生产规模，相应的周期和生产过程的调度方案． 问题3 如果该企业的资源限制为：I类工人120名，II类工人80名，技术工人25名，甲种设备8台，乙种设备10台及周期限制（一星期，共245.5=132h），请作出生产过程的调度方案，使在均衡生产条件下资源的浪费最小．[1] 2 基本假设 假设生产开始的瞬间，马上有产品出产． 忽略各中间产品的输送时间． 资源（包括工人和设备）的效率是持续而且均衡的，即忽略工人的生理因素、设备的老化损耗以及原材料的利用率对生产效率的影响． “数据是基本的”意思是一条生产线上安排操作的人员数经已经固定，如果人员减少了，流水线就无法生产，但如果人员多了，岗位并没有相应增加，因此不能加快生产的进度．[1] ”是指经过一个周期的生产，中间产品供求平衡，其库存增加量完全转化组装成为最终产品A0 ，其数值表示为零． “无资源浪费”是指各种设备和各类人员的拥有量与使用量相等，在整个生产周期中没有闲置的设备和闲散的人员． “连续”是指在整个周期中，不仅资源的总使用量不变，而且用于各种产品的资源使用量也不变，所有产品的生产过程不会停顿． 3 问题的解决 3.1最小生产规模与最短生产周期 在生产各产品的资源均独立运作、不能通用的情况下，设生产单位产品所需的资源量为1组，xi，i=0,…,6，0 ．也就是说，周期时间内各中间产品的库存增加量均为零，即中间产品的生产量与消耗量相等．现在要求最小的生产规模，也即要求各产品的生产组数之和的最小值．由条件可以得出以下的线性规划模型[2]： (3.1) 整理得： (3.2) 显然，当x0=1时，z可得最小值．这时，x1=2，x2=5，x3=5，x4=5，x5=2，x6=4．0,A1,…,A6的组数分别为1,2,5,5,5,2,4．因以上数字的最大公约数为1，所以N同时又是维持均衡生产的各产品生产组数的比例．这时各产品的产量比值为M=(1,4,5,6,15,12,12)． 由于生产A0的组数为1，而A0至少要有一条流水线组装，加之题目所给的数据是基本的，不能通过延长时间而减少工人、设备，所以，由上解可得出最小生产规模： I类工人数C1=711+272+345+375+185+332+174=704 II类工人数C2=301+182+175+135+125+282+234=424 技术工人数C3=71+92+75+65+52+114=144 甲种设备台数B1=41+32+45+25+24=48 乙种设备台数B2=11+32+15+25+52+64=56 记向量b=(704,424,144,48,56)，这就是满足条件的最小生产规模． 因为各产品的生产过程都不允许停顿，并且一个生产周期后，最终产品A0的产量只能是整数单位台，导致各中间产品的产量都是整数单位台，所以要实现无资源浪费、连续均