量子物理之氢原子的角向概率密度和径向概率密度.pdfVIP

*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度 (1)求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。 (2)当氢原子主量子数n一定时，说明各种角量子数的径向概 率密度的分布规律。为了简单起见，用m表示轨道磁量子数m 。 l [解析](1)求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数ψnlm(r,θ,φ) 。 每一组量子数(n,l,m)，都有一组波函数描述一个确定的状态 ψ (r, θ, φ) = R (r)Θ (θ)Φ (φ) ， nlm nl lm m 这里，Φ (φ)是氢原子的经度分布函数，Θ (θ)是纬 m lm 度分布函数，Rnl(r)是径向分布函数。 氢原子的经度  () 1 exp(im), 1/ 2π 是归一化常数。 m 分布函数为 2π  () N P|m| (cos), 纬度分布函数为 lm lm l Plm(x)是缔合(连带)勒让德 Nlm (2l 1)(l| m |)!. 多项式，Nlm是归一化常数 2(l| m |) ! *{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度 2 2 在氢原子中取一个体积元d V = r sinθdrdθdφ = r drdΩ ， dΩ = sinθdθdφ是立体角。 电子出现在距核为r，纬度为θ，经度为φ处的体积元d V中的概 2 2 2 2 率为w d V = |ψ | d V = |R | |Θ | |Φ | d V。 nlm nlm nl lm m 2 电子出现在φ到φ + dφ之间的概率为w dφ = |Φ | dφ 。 m m 2 根据经度分布函数可知：|Φ | 是常量，因 m 此概率的角分布关于z轴具有旋转对称性。 电子出现在立体角 1 2 2 2 | () | d w dΩ = |Θ | |Φ | dΩ lm dΩ之内的概率为 lm lm m 2π 根据纬度分布函数 1 2 1 |m| 2 w () | () | [N P (cos)] . 可得角向概率密度 lm 2π lm 2π lm l 当氢原子角量子数为0时(l = 0) ，磁量子 数只能取0(m = 0) ，氢原子中s态电