第2章 平稳随机信号的功率谱-频域特征.ppt

军用PKI体系结构及其关键技术 西安电子科技大学通信工程学院 第 2章 三 平稳随机信号的采样定理 三、 功率谱密度的采样定理 定义互功率谱密度为： 则 同理，有： 且 二、互谱密度和互相关函数的关系 若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有 即 对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机信号，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。 三、互谱密度的性质 性质1： 证明： （令 ） 性质2： 证明： 同理可证 性质3： 证明：类似性质2证明。 性质4： 若X(t)与Y(t)正交，则有 证明：若X(t)与Y(t)正交，则 所以 性质5： 若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值 和 ，则 证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以 （ ） 例6：设两个随机信号X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数 为: 求互谱密度 ， 。 性质6： 解： 2.3 离散时间随机信号的功率谱密度 一、离散时间随机信号的功率谱密度 1.平稳离散时间随机信号的相关函数 设X(n)为广义平稳离散时间随机信号，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为: 简写为： 2. 平稳离散时间随机信号的功率谱密度 当 满足条件式 时，我们定义 的功率谱密度为 的离散傅里叶变换，并记为 是频率为 的周期性连续函数，其周期为 奈奎斯特频率 因为 为周期函数，周期为 ， 在 时 在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机信号的功率谱密度定义为 的z变换，并记为 ，即 式中 式中，D为在 的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。 性质 例7：设 ，求 和 解： 将z= 代人上式，即可求得 其中，T为采样周期， 为在 时对 的采样。 设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围 ，当采样周期T等于 时，可将 展开为 二 确定性信号的采样定理 连续时间 确知信号 离散时间 确知信号 采样 香农采样定理 连续时间平稳随机信号 离散时间平稳随机信号 自相关函数 功率谱密度 功率谱密度 自相关函数 ? FT DFT ? ? 连续时间平稳随机信号 离散时间平稳随机信号 ? 采样 若 为平稳随机信号，具有零均值，其功率谱密度为 ，则当满足条件 时，可将 按它的振幅采样展开为 第一步 第二步 第三步 (1) (2) (3) (4) (5) =0 证明思路： * 平稳随机信号的谱分析 本章要解决的问题 随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义 2.1 随机信号的谱分析 一、预备知识 1. 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足 在 范围内满足狄利赫利条件 绝对可积，即 信号的总能量有限，即 有限个极值 有限个断点 断点为有限值 则 的傅里叶变换为： 其反变换为： 称 为 的频谱密度，也简称为频谱。 包含：振幅谱 相位谱 常见的傅立叶变换 2. 帕塞瓦等式 即 能量谱密度 二、随机信号的功率谱密度 应用截取函数 当x(t)为有限值时， 的傅里叶变换存在 应用帕塞瓦等式 除以2T 取集合平均 令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序 功率Q 非负 存在 （1）Q为确定性值，不是随机变量 （2） 为确定性实函数。 注意： 两个结论： 1 表示时间平均 若平稳 2 例1：设随机信号 ，其中 皆是实常数， 是服从 上均匀分布的随机变量，求随机信号 的平均功率。 解： 不是宽平稳的 功率谱密度： 描述了随机信号X(t)的 功率在各个不同频率上的分布—— 称为随机信号X(t