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2.2 特殊矩阵的特征系统
本节将介绍理论上和特征系统计算上的非常
重要的矩阵分解,即Schur分解。
定理 2.7 (Schur定理) 设A n n× ,则存在
∈C
n n×
酉阵U ∈C 使得
A URU H
n n× 为上三角矩阵。
其中R ∈C
A URU H 也称为矩阵的Schur分解
对矩阵的阶数n用数学归纳法证明。
证:
()
( )R , U 1
n 1时,定理显然成立。即 A a
设n=k时,定理成立,即 对于 k 阶方阵A ,存
在k阶酉阵U,使得 H 现在证明,当
A URU
n=k+ 1时,定理仍成立。
k +1 × k +1
记 λ1 为方阵 A ∈C( ) ( ) 的一个特征值,于是存在
u ∈Ck +1 为其对应于 λ1 的特征向量。我们可以特别选取
1
u ,使得 u 1 。再于 { }⊂Ck +1 的正交补
1 1 Span u1
uu ,, uu ,,LL ∈Ck +1 ,使
空间上选取标准正交基 22 kk ++11
u1 构成一组标准正交基。
注
U u( u, 记 u, ) L 显然 ( 1) k (+ ×1) k + 为酉阵,
1 1 2, k +1 , U1 ∈C
Au 由于u λ ,则
1 1 1
H H u⎛(u , )⎞
⎛ ⎞ 1 1 1
u1 u1 ⎜ ⎟
⎜ ⎟ H
H u (u , )
2 1 0
H u2 u2 ⎜ ⎟
U Au ⎜ ⎟A u λuuuλ1
1 1 ⎜ ⎟M 1
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