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第十章 膨胀波和激波 §10.1 膨胀波 1、膨胀波的形成 ㈠定常二维平面超音速流绕外钝角的流动 壁面转折点对超音速来流是一个扰动源。 在此扰动源产生的扰动向下游传播，是按马赫 锥传播的，马赫锥是以马赫线为标志的。马赫 线与均匀 来流的夹角 是马赫角。 ㈡气流经过马赫线后，要偏转一定的角度。偏 转后，气流流通截面扩大，因此气流加速 （因为这是超音速流动），压力、温度等下 降。因此称为膨胀波。 ㈢如果只是一条马赫线，不足以使气流产生很 大的转角，只能是一个微小偏转。这是小扰 动的特点。 因此在经过 一个有限转角 处，势必会发 出一系列 膨胀波。 ㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。气流经过 每道马赫线，速度上升一点，压力温度下降一 点，这个过程近似是等熵的过程。所以经过膨 胀波后，气流的总温总压是不变的。 ㈤如果来流均匀，马赫线就是直线，膨胀波束就 是一个扇形。这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶 膨胀波(Prandtl-Mayer expansion wave) 。 ㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波，由于压 力的不同也会产生膨胀波。 2 、普郎特-梅耶膨胀波的计算 如图，O点的转折角为δ，超音速气流将 发生连续膨胀。 从马赫线OD开始连续变到马赫线OE为止。 中间存在无穷多条马赫线，组成一膨胀波组。 压力由p 下降到p ，速度由V 上升到V ，其变 1 2 1 2 化可看成无穷多个微小变化dp和dV 的合成。在 膨胀区DOE 中的流线是弯曲的，各马赫线与流 线之间的角度 沿着气流方向 逐渐变小。 先来建立经过一条马赫线的偏转计算。 按照顺时针转角为负的原则，向下的转 −δ 角为 。把来流速度V沿着与马赫线垂直与 相切的方向进行分解。 因为气流沿切线方向的速度是不会改变 的，这是从沿切向的动量定理知道的。这样 波前波后切向速度相等： V cos μ ( ) ( ) V dV+ cos μ−dδ cos coscos μ−dsinδ sin μ dδ + μ dδ( ) 因为 ≈cos μ+dδsin μ dV dδ =− − μ δ 所以 tg d V M 2 −1 2 dV d M 1 − δ − 即 V 这就是经过一条马赫线后，气流的偏转角。 注意，此式中的负号是对于向下偏转的，如果 是向上偏转的，则变为正号。 为了得出经过膨胀波扇的总偏转角，需要 把上式积分。但是首先需要把速度和马赫数联 系起来。 2 2 2 2 由V =M c =M kRT ，得 * 2 kRT M V2 k −1 2 1+ M 2 微分此式，得