第六章_弹性体的振动22.ppt

第六章 弹性体振动 6.1　引言 　前面各章在讨论振动问题时采用的都是集中参数模型，它只有有限多个自由度，且运动规律由常微分方程来确定。事实上，它只是现实问题中的一类力学模型。客观现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续系统或分布参数系统)，它的物理参数是分布型的，具有无限多个自由度，且运动规律由偏微分方程来确定 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。 在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无限多个； 主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性； 在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率响应法等同样适用于弹性体振动分析。 在考察实际振动问题时，究竟该采用那一类力学模型，得根据具体对象作具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。 当考察振动体内弹性波的传播问题时，就得采用弹性体模型。 　讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足以下假设条件： 1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克定律。 通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。 6.2 一维连续系统振动弦振动 　两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。 　波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时划清晰的波形，但求解比较复杂； 　振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运动叠加而成 　对特定动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。 　在一般机械系统中，直接进行振动分析更为简单可行。 　下面寻求方程（6.2.6) 的振动解。 　由以上讨论可见，张紧弦的自由振动除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动亦称谐波振动。 6.3 导致一维波动方程的其它振动系统 比较典型的有： 杆的纵向振动 轴的扭转振动 轴的扭转振动 长为l的等截面直园轴。设轴单位体积的质量为r，圆截面对其中心的极惯性矩为Ip，材料剪切弹性模量为G。 6.4 梁的弯曲振动 粱弯曲振动的运动方程 考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动。假定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动惯量的影响，这种梁称做欧拉—贝努利(Euler-Bernoulli)梁。于是，梁上各点的运动只需用梁轴线的横向位移表示 粱的自由振动 可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变量法 将： 按上类似的方式可得 其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条件确定。 典型的边界条件有以下几种： (1)固定端 该处纵向位移为零，即有 (2)自由端 该处轴向内力为零，即有 (3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图(a))，则此处轴向内力等于弹性力，即 (4)惯性载荷 设杆的右端附—集中质量块(图(b))，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性力，即 假定轴的横截面在扭转振动中保持为平面作整体转动。以q (x, t)表示轴上x截面处在t时刻相对左端面的扭转角。 为推导轴扭转振动的微分方程，从其中截取一微元段如上图。列出运动微分方程为 其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力学知 ，代入式(6.3.8)，整理得 其中 。可见轴的扭转振动微分方程仍为一维波动方程。 常见的边界条件有以下几种： (1)固定端 该处转角为零，即有 (2)自由端 该处扭矩为零，即 (3)弹性支承 若轴的右端通过刚度为Kt的扭簧与固定点相连，则有 (4)惯性载荷 若轴的右端附有一圆盘，则有 上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量 设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均为常数，建立如上图所示的坐标系。 在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t，此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受力情况。微元段沿y方向的运动方程为 忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点的矩之和应为零，即 略去二阶微量，有 由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为 将(6.4.2)和( 6.4.3)代入(6.4.1)中，得 上式就是梁弯曲振动的运动微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振动，其运动微分方程为 或写成 其中 粱弯曲振动的运动微分方程(6.4.6)是一个四阶偏微分方程。为求其振动解，