2016年函数的奇偶性.doc

高三数学一轮复习——函数的奇偶性 函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现． 一、要点精讲 1、函数的奇偶性的定义： 对于函数定义域内定义域内任意一个，若有__________ ___ _____，则函数为奇函数；若有______________ _____，那么函数为偶函数. 2、奇偶函数的性质： ⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称； ⑷ 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇． ⑸ 为偶函数． ⑹ 若奇函数的定义域包含，则． 3、判断函数奇偶性的途径： ⑴ 依据图象的对称性进行判断． ⑵ 依据常见函数奇偶性的结论进行判断． ⑶ 运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看f(－x)是否等于－f(x)或f(x)． ⑷对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用“赋值”等策略．　 4、周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 二、基本训练 1．下面四个结论中，正确命题的个数是( ） ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 解:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕. . 已知函数是奇函数，当时，；当时，等于 （A） （B） （C） （D） ．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)， 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 是奇函数，且，若，则 。 解：因为为奇函数，所以，所以，， 所以。 5．(2012广东)下列函数为偶函数的是(　　) A．y＝sinx　　　　　B．y＝x3C．y＝ex D．y＝ln 解：四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sin x为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln为偶函数． 6.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数. 7、已知为偶函数，且定义域为，则= ，= 。 解析:定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a，得a=. 要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0. 三、典例解析 考点一：函数奇偶性的判断 1、判断下列函数的奇偶性 ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ⑷ ； ⑸ ⑹ f(x)＝ 解：（1）由得定义域为， ∴ 奇 (2) 既是奇函数也是偶函数 （3）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数． （4）∵ ∴为偶函数 （5）分与两种情况 （6）解：当x－1时，f(x)＝x＋2，－x1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)． 当x1时，f(x)＝－x＋2，－x－1，∴f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)． 当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，∴f(－x)＝0＝f(x)． 综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 2.（2010广东）若函数与的定