2016年【湘教考】高三数学（理）一轮复习课时达标：6.7.doc

（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！） 一、选择题1.（2014·烟台高三模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是() A.2k＋2B.2k＋3 C.2k＋1D.(2k＋2)＋(2k＋3) 【解析】当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加， 即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加， 即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，故选D. 【答案】D 2.（2012·安庆模拟）由数学归纳法证明不等式+…+（n≥2,n∈N）的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了（　　） A.1项　　　　　B.k项　　　　　C.2k-1项　　　　　D.2k项 【解析】　当n=k，左边=， 当n=k+1时，左边=， 故增加了项．选C. 【答案】　C 3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 【解析】对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误． 对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误． 对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 【答案】D 4．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去…则第n个图共挖去小正方形 () A．(8n－1)个 B．(8n＋1)个 C.(8n－1)个 D. (8n＋1)个 【解析】第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个…第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个． 【答案】C 5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是 （??）A.6+6·7k B.2+7k-1C.2（2+7k+1) D.3（2+7k）【解析】 （1）当k=1时，显然只有3（2+7k）能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.【答案】　D 6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为 （??）A.a=,b=c= B.a=b=c=C.a=0,b=c= D.不存在这样的a、b、c【解析】 ∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1，2，3时等式成立， 即 整理得 解得a=12,b=c=.【答案】　A 二、填空题7.已知f(n)=1+++…+(n∈N*)，用数学归纳法证明f2n)＞时，f2k+1)-f(2k)=?? ??. 【解析】 ∵f(2k+1)=1++++…+++…++++…+，f（2k）=1++++…+++…+，∴f2k+1)-f(2k)=++…+.【答案】　++…+ 8．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为. 【解析】由条件知CA1，A1A2，A2A3，…，An－1An对应的中心角都是，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为，×2，×3…，据题意，第一圈长度为 (1＋2＋3)，第二圈长度为 (4＋5＋6)，第n圈长度为［(3n－2)＋(3n－1)＋3n］，故ln＝ (1＋2＋3＋…＋3n)＝·＝(3n2＋n)π. 【答案】(3n2＋n)π9.在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=,则a3=????,猜想数列{an}的通项公式为? ? ??.【解析】 由Sn=可计算出a1=1,a2=-1,a3=-.由a1,a2,a3可归纳猜想出an=-.【答案】　-?- 10.已知当n=1时，有（a-b）（a+b）=a2-b2,当n=2时，有（a-b）（