2016年【湘教考】高三数学（理）一轮复习课时达标：4.3.doc

（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！） 一、选择题 ＝0，且，则在方向上的投影为( ) A.1 B.2 C. D.3 【解析】如图， 设D为BC的中点，由＝0得+＝0，即=， ∴A，O，D共线且=， 又∵O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线， ∴即 ∴在方向上的投影为3. 【答案】C 2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上一点P使有最小值，则P点的坐标是(　　)(－3，0) ．(2，0) ．(3，0) ．(4，0)【解析】　设P点坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x－6x＋10＝(x－3)＋1.当x＝3时，有最小值1.∴点P坐标为(3，0)，故选 【答案】　C (2014·青岛一模)若两个非零向量a，b满|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) B. C. D. 【解析】由|a＋b|＝|a－b|，得a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a＋a·b＝|a|故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为＝＝＝所以θ＝ (2014·昆明调研)在△ABC中，设－＝2，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)垂心 B．内心 C．外心 D．重心【解析】　假设BC的中点是O，则－＝(＋)·(－)＝2＝·，即(－)·＝＝0，所以，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选，则对任意的正实数t，|c+tb+b|的最小值是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】|c+tb+b|2＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋2tc·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2+2＝8.当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴|c+tb+b|的最小值为2. 【答案】B 6. 已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，＝－2，则|的最小值是(　　) B. C. D. 【解析】　设BC的中点为M，则＝又M为BC中点，∴＝(＋)，＝＝(＋)，|＝＝又∵＝－2，∠A＝120°，∴||＝4.|＝＝，当且仅当|＝|时取等号，∴|的最小值为二、填空题 7．(2014·潍坊二模)在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝，〈，〉＝60°，则|＝________.【解析】　因为〈，〉＝60，所以＝|＝1×3×＝，又＝(＋)，所以＝(＋)＝(＋2＋)，即＝(1＋3＋9)＝，所以|＝【答案】　 8．如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝________． 【解析】　设AC交BD于O，则＝－，＝－，∴(＋)·(＋)＝(－＋－)·(＋)＝(－＋－)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝5. 【答案】　5 (2013·九江模拟)如图是半径为2，圆心角为90的直OAB，Q为AB上一点，点P在扇形内(含边界)，且OP＝＋(1－)OB(0≤t≤1)，则OP·OQ的最大值为________． 【解析】　∵OP＝t＋(1－t)OB，＝t，又∵0≤t≤1，在线段BA上运动．为AB上一点，设∠POQ＝θ，＝|OP||OQ|＝2|OP|s θ≤2|OP|≤2×2＝4，即当P，Q重合且位于A或B处时，OP·OQ取最大值4.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0)．对于某个正实数k，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ·＋(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，k的取值范围为________．【解析】　设＝，＝，＋＝，则＝λ因为P(1，a)，Q(k，ak)，＝(1，0)，＝，，＝，则直线OG的方程为y＝，又＝λ，所以P(1，a)在直线OG上，所以a＝，所以a＝1－又a0，k0，所以1－＞0，所以k＞2. 三、解答题 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)·＋c＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，试求的最小值．【解析】　(1)因为(2a＋c)＋c＝0，所以(2a＋c)ac＋abc＝0，即(2a＋c)＋b＝0，所以(2＋)cos B＋＝0，即2＋(B＋C)＝0，因为(B＋C)＝，所以＝－，所以B＝(2)因为b＝a2＋c－2ac，所以12＝a＋c＋ac≥3ac，即ac≤4，所以＝ac＝－－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以的最小值为－2.12．已知平面上的三个向量a、b、c的模均为1，它们之间的夹角均为120°. (1)证明：a＋b＋c＝0； (2)证明：(a－b)⊥c； (3)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范