2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 函数与基本初等函数I.6.doc

§2.6　对数与对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0且a≠1，M0，N0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④＝logaM. (2)对数的性质 ①＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f(log3)的值是(　　) A．5 B．3 C．－1 D. 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由x＝log43，4x＝3，2x＝， 2－x＝，(2x－2－x)2＝()2＝. (2)因为f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝2. log30，f(log3)＝＋1 ＝＋1＝2＋1＝3. f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5. ∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华　解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 　已知函数f(x)＝． (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值； (2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (3)若函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围． 解　(1)由x2－2ax＋30的解集为 (－∞，1)∪(3，＋∞)， 得2a＝1＋3，所以a＝2，即实数a的值为2. (2)因为函数f(x)的值域为(－∞，－1]， 则f(x)max＝－1， 所以y＝x2－2ax＋3的最小值为ymin＝2， 由y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， 得3－a2＝2， 所以a2＝1，所以a＝±1. (3)f(x)在(－∞，1]上为增函数，则y＝x2－2ax＋3在(－∞，1]上为减函数，且y0， 所以即故1≤a2. 所以实数a的取值范围是[1,2)． 利用函数性质比较幂、对数的大小 典例：(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．cba B．abc C．bac D．acb (2)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．abc B．bac C．acb D．cab (3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．bac B．cab C．cba D．acb 思维点拨　(1)利用幂函数y＝x0.5和对数函数y＝log0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小； (2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较； (3)先判断函数φ(x)＝xf(x)的单调性，再根据20.2，logπ3，log39的大小关系求解． 解析　(1)根据幂函数y＝x0.5的单调性， 可得0.30.50.50.510.5＝1，即ba1； 根据对数函数y＝log0.3x的单调性， 可得log0.30.2log0.30.3＝1，即c1. 所以bac. (2)c＝＝＝. 方法一　在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示． 由图象知： log23.4log3log43.6. 方法二　∵log3log33＝1，且3.4， ∴log3log33.4log23.4. ∵log43.6log44＝1，log31， ∴log43.6log3. ∴log23.4log3log43.6. 由于y＝5x，∴. 即，acb. (3)因为函数y＝f(x)关于y轴对称， 所以函数y＝xf(x)为奇函数． 因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时，