2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 三角函数、解三角形.6.doc

§4.6　简单的三角恒等变换 1．公式的常见变形 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)sin2α＝； cos2α＝； sin αcos α＝sin 2α. (3)1＋cos ＝2cos2； 1－cos ＝2sin2； 1＋sin ＝(sin＋cos)2； 1－sin ＝(sin－cos)2. 2． asin x＋bcos x＝sin(x＋)， sin φ＝，cos ＝. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　) (2)设α∈(π，2π)，则 ＝sin.(　×　) (3)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．(　√　) (4)设θ3π，且|cos θ|＝，那么sin的值为.(　×　) (5)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　×　) (6)函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x在区间[－，]上的最大值为.(　√　) 1．化简：等于(　　) A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α 答案　C 解析　原式＝＝ ＝sin α. 2．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　∵∈(，π)， ∴cos＝－＝－＝－. 3．如果α∈(，π)，且sin α＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)等于(　　) A. B．－ C. D．－ ∴2sin αcos α＝， ∵∈(0，)， ∴sin ＋cos ＝ ＝ ＝， ∴＝ ＝－(sin α＋cos )＝－. 思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 　(1)若＝，则tan 2α等于(　　) A. B．－ C. D．－ (2)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________． 答案　(1)D　(2) 解析　(1)＝＝＝， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－. (2)∵α为锐角，cos(α＋)＝， ∴sin(α＋)＝， ∴sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝， cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝， ∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－) ＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝. 题型二　三角函数的求角问题 例2　(1)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　) A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z) (2)已知函数f(x)＝tan(2x＋)，若α∈(0，)且f()＝2cos 2α，则α＝________. 答案　(1)C　(2) 解析　(1)由sin α＝，cos β＝且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 又0α＋βπ，故α＋β＝. (2)由f()＝2cos 2α， 得tan(α＋)＝2cos 2α， ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． ∵α∈(0，)，∴sin α＋cos α≠0. ∴(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝. 由α∈(0，)，得2α∈(0，)， ∴2α＝，即α＝. 思维升华　(1)由三角函数值求角，一定要考虑角的范围；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C等于(　　) A. B. C. D. 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)∵α、β均为锐角，∴－α－β. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×(－)＝. ∴β＝. (2)由已知可得tan A＋tan B＝(tan A·tan B－1)， ∴tan(A＋B)＝＝－， 又0A＋Bπ，