2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第2章 函数与基本初等函数I2.2.doc

§2.2　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在D上是增函数．(　√　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　×　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(　×　) (6)函数y＝的最大值为1.(　√　) 1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 答案　A 解析　A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝()x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误． 2．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示； 当a0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示． 所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 3．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是___________________________． 答案　，1 解析　f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1. 4．(课本改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________． 答案　(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析　函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示． 由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞). 题型一　函数单调性的判断 例1　(1)判断函数f(x)＝(a0)在x∈(－1,1)上的单调性． (2)求函数y＝的单调区间． 解　(1)设－1x1x21， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. ∵－1x1x21， ∴x2－x10，x1x2＋10，(x－1)(x－1)0. 又∵a0，∴f(x1)－f(x2)0， ∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数． (2)令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数． 由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. ∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数． ∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 思维升华　(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判