2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案空间点、线、面之间的位置关系.doc

学案42　空间点、线、面之间的位置关系 导学目标： 1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 自主梳理 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过______________的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：______________. 3．直线与平面的位置关系有________、______、________三种情况． 4．平面与平面的位置关系有______、______两种情况． 5．平行公理 平行于______________的两条直线互相平行． 6．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________． 自我检测 1．(2011·泉州月考)若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是(　　) A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面 2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　) 4．(2010·全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________．(填序号) 探究点一　平面的基本性质 例1　 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. (1)求AH∶HD； (2)求证：EH、FG、BD三线共点． 变式迁移1　 如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O. 求证：B、D、O三点共线． 探究点二　异面直线所成的角 例2　(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 变式迁移2　(2011·淮南月考)在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 转化与化归思想的应用 例　 (12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值． 多角度审题　对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解． 【答题模板】 解　(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD， ∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分] 在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin 30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝， ∵底面菱形的面积S＝2××2×2×＝2， ∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD＝×2×＝2.[6分] (2) 取AB的中点F，连接EF，DF， ∵E为PB中点，∴EF∥PA， ∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．[8分] 在Rt△AOB中， AO＝AB·cos 30°＝， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， 由余弦定理得cos∠DEF＝[10分] ＝＝＝. 所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.[12分] 【突破思维障碍