2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案数学归纳法.doc

学案39　数学归纳法 导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 自主梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法． 2．数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立． 3．数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立． (2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 自我检测 1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．如果命题P(n)对于n＝k (k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是(　　) A．P(n)对所有正整数n成立 B．P(n)对所有正偶数n成立 C．P(n)对所有正奇数n成立 D．P(n)对所有大于1的正整数n成立 3．(2011·台州月考)证明1＋＋＋＋…＋n＋1(n1)，当n＝2时，中间式子等于(　　) A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋ 4．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 (n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 探究点一　用数学归纳法证明等式 例1　对于n∈N*，用数学归纳法证明： 1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)． 变式迁移1　(2011·金华月考)用数学归纳法证明： 对任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 探究点二　用数学归纳法证明不等式 例2　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…均成立． 变式迁移2　已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x－1时，(1＋x)m≥1＋mx. 探究点三　用数学归纳法证明整除问题 例3　用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． 变式迁移3　用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 从特殊到一般的思想 例　(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由． 【答题模板】 解　(1)由已知得，又∵{an}的公差大于0， ∴a5a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝＝＝2，a1＝1， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分] ∵Tn＝1－bn，∴b1＝，当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1， ∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－， 化简，得bn＝bn－1，[4分] ∴{bn}是首项为，公比为的等比数列， 即bn＝·n－1＝， ∴an＝2n－1，bn＝.[6分] (2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝. 以下比较与Sn＋1的大小： 当n＝1时，＝，S2＝4，∴S2，当n＝2时，＝，S3＝9，∴S3， 当n＝3时，＝，S4＝16，∴S4，当n＝4时，＝，S5＝25，∴S5. 猜想：n≥4时，Sn＋1.[9分] 下面用数学归纳法证明： ①当n＝4时，已证． ②假设当n＝k (k∈N*，k≥4)时，Sk＋1，即(k＋1)2.[10分] 那么，n＝k＋1时，＝＝3·3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，Sn＋1也成立．[12分] 由①②可知n∈N*，n≥4时，Sn＋1都成立． 综上所述，当n＝1,2,3时，Sn＋1，当n≥4时，Sn＋1.[14分] 【突破思维障碍】 1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中